(Es gibt noch eine andere „Eulersche Formel“ über Geometrie,
diese Seite ist über diejenige, die bei komplexen Zahlen verwendet wird)
Zuerst hast du vielleicht die berühmte „Eulersche Identität“ gesehen:
eiπ + 1 = 0
Es scheint absolut magisch zu sein, dass eine so saubere Gleichung kombiniert wird:
- e (Eulersche Zahl)
- i (die imaginäre Einheitszahl)
- π (die berühmte Zahl pi, die in vielen interessanten Bereichen auftaucht)
- 1 (die erste Zählzahl)
- 0 (Null)
Und hat auch noch die Grundoperationen Addieren, Multiplizieren und einen Exponenten dazu!
Wenn du aber eine interessante Reise durch die Mathematik machen willst, dann erfährst du, wie sie zustande kommt.
Interessiert? Lies weiter!
Entdeckung
Es war um 1740, und Mathematiker interessierten sich für imaginäre Zahlen.
Eine imaginäre Zahl ergibt, wenn man sie quadriert, ein negatives Ergebnis
Normalerweise ist das unmöglich (versuche, einige Zahlen zu quadrieren, denke daran, dass die Multiplikation von Negativen ein Positives ergibt, und schaue, ob du ein negatives Ergebnis bekommst), aber stell dir einfach vor, du könntest es tun!
Und wir können diese spezielle Zahl haben (i für imaginär):
i2 = -1
Leonhard Euler vergnügte sich eines Tages, indem er mit imaginären Zahlen spielte (oder so stelle ich mir das vor!), und er nahm diese bekannte Taylor-Reihe (lies darüber, sie sind faszinierend):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
Und er setzte i hinein:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
Und weil i2 = -1 ist, vereinfacht es sich zu:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Nun gruppiere alle i-Terme am Ende:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
Und hier ist das Wunder … die beiden Gruppen sind eigentlich die Taylorreihen für cos und sin:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
Und so vereinfacht es sich zu:
eix = cos x + i sin x
Er muss so glücklich gewesen sein, als er dies entdeckte!
Und es wird nun Eulers Formel genannt.
Versuchen wir es einmal:
Beispiel: wenn x = 1,1
Anmerkung: wir verwenden Bogenmaß, nicht Grad.
Die Antwort ist eine Kombination aus einer reellen und einer imaginären Zahl, die zusammen eine komplexe Zahl genannt werden.
Wir können eine solche Zahl in die komplexe Ebene einzeichnen (die reellen Zahlen gehen von links nach rechts und die imaginären Zahlen von oben nach unten):
Hier zeigen wir die Zahl 0,45 + 0,89 i
Das ist dasselbe wie e1,1i
Lassen Sie uns noch mehr einzeichnen!
Ein Kreis!
Ja, wenn man die Eulersche Formel auf diesen Graphen anwendet, ergibt sich ein Kreis:
eix ergibt einen Kreis mit dem Radius 1
Und wenn wir einen Radius von r einbeziehen, können wir jeden beliebigen Punkt (z.B. 3 + 4i) in die Form von reix verwandeln, indem wir den richtigen Wert für x und r finden:
Beispiel: die Zahl 3 + 4i
Um 3 + 4i in die Reixform zu bringen, machen wir eine Umrechnung von kartesisch nach polar:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (auf 3 Dezimalstellen)
So kann 3 + 4i auch 5e0,927 i
Es ist eine andere Form
Es ist grundsätzlich eine andere Art, eine komplexe Zahl zu haben.
Dies erweist sich als sehr nützlich, da es viele Fälle gibt (z.B. Multiplikation), in denen es einfacher ist, die reix-Form zu verwenden als die a+bi-Form.
Darstellung von eiπ
Schließlich erhalten wir, wenn wir die Eulersche Formel für x = π berechnen:
Und hier ist der Punkt, der durch eiπ entsteht (womit unsere Diskussion begann):
Und eiπ = -1 kann umgewandelt werden in:
eiπ + 1 = 0
Die berühmte Eulersche Identität.