(Existuje ještě jeden „Eulerův vzorec“ o geometrii,
tato stránka je o tom, který se používá v komplexních číslech)
Nejprve jste možná viděli slavnou „Eulerovu identitu“:
eiπ + 1 = 0
Přijde mi naprosto kouzelné, že se taková elegantní rovnice spojuje:
- e (Eulerovo číslo)
- i (jednotkové imaginární číslo)
- π (slavné číslo pí, které se objevuje v mnoha zajímavých oblastech)
- 1 (první počítané číslo)
- 0 (nula)
A má také základní operace sčítání, násobení a také exponent!
Ale pokud se chceš vydat na zajímavý výlet matematikou, zjistíš, jak vzniká.
Zajímá tě to? Čtěte dál!
Objev
Psal se rok 1740 a matematici se zajímali o imaginární čísla.
Imaginární číslo po odmocnění dává záporný výsledek
To je normálně nemožné (zkuste odmocnit nějaké číslo a pamatujte si, že násobení záporných čísel dává kladný výsledek, a uvidíte, jestli dostanete záporný výsledek), ale představte si, že to dokážete!
A můžeme mít toto zvláštní číslo (nazývá se i jako imaginární):
i2 = -1
Leonhard Euler se jednou bavil tím, že si hrál s imaginárními čísly (nebo si to alespoň představuji!), a vzal tuto známou Taylorovu řadu (přečtěte si o nich, jsou fascinující):
ex = 1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + …
A do ní dosadil i:
eix = 1 + ix + (ix)22! + (ix)33! + (ix)44! + (ix)55! + …
A protože i2 = -1, zjednodušuje se na:
eix = 1 + ix – x22! – ix33! + x44! + ix55! – …
Nyní seskupíme všechny členy i na konci:
eix = ( 1 – x22! + x44! – … ) + i( x – x33! + x55! – … )
A tady je ten zázrak … obě skupiny jsou vlastně Taylorovy řady pro cos a sin:
cos x = 1 – x22! + x44! – …
sin x = x – x33! + x55! – …
A tak se to zjednoduší na:
eix = cos x + i sin x
Musel být tak šťastný, když to objevil!“
A nyní se tomu říká Eulerův vzorec.
Zkusme si to:
Příklad: když x = 1,1
Poznámka: používáme radiány, ne stupně.
Odpovědí je kombinace reálného a imaginárního čísla, které se dohromady nazývají komplexní číslo.
Můžeme takové číslo vynést do komplexní roviny (reálná čísla jdou zleva doprava a imaginární čísla jdou nahoru dolů):
Zde ukazujeme číslo 0,45 + 0,89 i
Které je stejné jako e1,1i
Vyneseme další!!!
Kruh!
Ano, dosazením Eulerova vzorce do tohoto grafu vznikne kružnice:
eix vznikne kružnice o poloměru 1
A když zahrneme poloměr r, můžeme jakýkoli bod (například 3 + 4i) převést do tvaru reix nalezením správné hodnoty x a r:
Příklad: číslo 3 + 4i
Pro převedení 3 + 4i na reixový tvar provedeme převod kartézského tvaru na polární:
- r = √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5
- x = tan-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 (na 3 desetinná místa)
Takže 3 + 4i může být také 5e0,927 i
Je to jiný tvar
Je to vlastně jiný způsob, jak mít komplexní číslo.
To se ukazuje jako velmi užitečné, protože existuje mnoho případů (například násobení), kdy je jednodušší použít formu reix než formu a+bi.
Přepočet eiπ
Nakonec, když vypočítáme Eulerův vzorec pro x = π, dostaneme:
A zde je bod vytvořený eiπ (kde naše diskuse začala):
A eiπ = -1 lze přeformulovat na:
eiπ + 1 = 0
Slavná Eulerova identita.