Wiemy jak znaleźć pierwiastek kwadratowy dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej. W podobny sposób, możemy znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Różnica polega na tym, że pierwiastek nie jest rzeczywisty. Jeśli wartość w radicand jest ujemna, korzeń mówi się, że jest liczbą urojoną. Liczba urojona i jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej 1.
Więc, korzystając z własności rodników,
Możemy zapisać pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby ujemnej jako wielokrotność i. Rozważmy pierwiastek kwadratowy z -25.
Używamy 5i, a nie -, ponieważ pierwiastek główny z 25 jest pierwiastkiem dodatnim.
Rysunek 1
Liczba zespolona jest sumą liczby rzeczywistej i liczby urojonej. Liczba złożona jest wyrażona w postaci standardowej, gdy jest zapisana a + bi, gdzie a jest częścią rzeczywistą, a bi jest częścią urojoną. Na przykład, 5+2i jest liczbą złożoną. Tak samo jak 3+4sqrt{3}i jest liczbą złożoną.
Liczby urojone są odróżniane od liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby urojonej daje ujemną liczbę rzeczywistą. Przypomnijmy, że gdy dodatnia liczba rzeczywista jest podniesiona do kwadratu, wynik jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a gdy ujemna liczba rzeczywista jest podniesiona do kwadratu, ponownie, wynik jest dodatnią liczbą rzeczywistą. Liczby zespolone są kombinacją liczb rzeczywistych i urojonych.
Uwaga ogólna: liczby urojone i zespolone
Liczba zespolona jest liczbą postaci a+bi gdzie
- a jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej.
- bi jest częścią urojoną liczby złożonej.
Jeśli b=0, to a+bi jest liczbą rzeczywistą. Jeśli a=0 i b nie jest równe 0, to liczba złożona jest nazywana liczbą urojoną. Liczba urojona jest pierwiastkiem parzystym z liczby ujemnej.
Jak: Mając daną liczbę urojona, wyraź ją w postaci standardowej.
- Zapisz ∗ jako i.
- Zapisz ∗ jako i.
- Zapisz ∗ jako i.
- Zapisz ∗ w najprostszej postaci.
Przykład 1: Wyrażanie liczby urojonej w postaci standardowej
Wyrażenie liczby urojonej w postaci standardowej.
Try It 1
Wyrażenie ∑sqrt{-24}} w postaci standardowej.
Rozwiązanie
.