Fraktale

Po pierwsze, zacznijmy od własności fraktali, które zaobserwowaliśmy w kalafiorze Romanesco.

Właściwość: Samopodobieństwo to własność polegająca na tym, że powiększenie obiektu powoduje powstanie niekończącego się powtarzającego się wzoru.

Innym przykładem samopodobieństwa w przyrodzie są powtarzające się wzory krystalizującej się wody i płatków śniegu.

„Frost patterns 2” by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Jak opisujemy te samopodobne wzory i jak generujemy samopodobne kształty matematycznie, które są odtwarzalne w każdym powiększeniu? Widzieliśmy fraktalne wzory w płatkach śniegu, więc zacznijmy od wygenerowania samopodobnego wzoru przypominającego płatek śniegu.

Płatek śniegu Kocha

Zaczynając od trójkąta równobocznego, utwórz trójkąt równoboczny używając środkowej trzeciej części każdego boku jako podstawy, a następnie usuń podstawę trójkąta. Teraz powtórz ten proces dla każdego segmentu linii w otrzymanej figurze. Oto kilka pierwszych iteracji:

Kontynuacja tego procesu daje płatek śniegu Koch w granicy. Oto zbliżenie granicy po wielu iteracjach:

Ponieważ przybliżenie płatka Kocha daje krzywą, która jest kopią samej siebie w mniejszej skali (zwaną krzywą Kocha), płatek Kocha wykazuje samopodobieństwo.

Jeśli trójkąt równoboczny, od którego zaczynamy, ma bok długości 1, to zauważ, że zastępując każdy odcinek linii przez 444 odcinki o jednej trzeciej długości, mnożymy długość przez 43 \frac{4}{3} 34 w każdym kroku. Wynika z tego, że po nnn krokach długość obwodu wynosi 3⋅(43)n 3 ∗ lewa( ∗frac{4}{3} ∗ prawa)^n3⋅(34)n, zatem gwiazda Kocha ma nieskończony obwód, jeśli mierzyć ją jako krzywą jednowymiarową.

Jednakże, jak zobaczymy później, wynika to z tego, że płatek śniegu Kocha powinien być postrzegany jako posiadający więcej niż 1 wymiar i próba zmierzenia kształtu w niewłaściwym wymiarze daje bezsensowną odpowiedź. Jest to podobne do próby zmierzenia ilości bardzo cienkiej nitki potrzebnej do pokrycia dwuwymiarowego kwadratu. Potrzebowalibyśmy nieskończenie długiej nici, ponieważ próbujemy zmierzyć dwuwymiarowy obiekt za pomocą jednowymiarowej krzywej.

Płatek śniegu Kocha pokazuje, że chociaż fraktale są złożone, można je wygenerować przez wielokrotne stosowanie prostych reguł. Możemy myśleć o początkowym trójkącie płatka Kocha jako o inicjatorze, a o kroku zastąpienia każdej linii przez szczyt jako o generatorze. Jeśli zamiast tego zaczniemy od odcinka linii jako inicjatora i użyjemy następującego generatora, otrzymamy inny wzór.

Te przykłady demonstrują następujące właściwości fraktali.

Fraktale mają szczegóły w arbitralnie małych skalach i wykazują nieregularności, których nie można opisać za pomocą tradycyjnego języka geometrycznego.

Innymi słowy, fraktale są obiektami, które w dowolnym powiększeniu nigdy nie „wygładzą się” tak, by wyglądać jak przestrzeń euklidesowa.

Sierpinski Gasket

Sierpinski gasket jest trójkątem złożonym z mniejszych kopii samego siebie. Zaczynając od wypełnionego trójkąta, połącz środki każdego z boków, usuń środkowy trójkąt i powtórz operację nad pozostałymi trzema wypełnionymi trójkątami.

Jeśli zaczniemy od trójkąta o boku długości 111, jakie jest pole powierzchni uszczelki Sierpińskiego (przestrzeń pokolorowana na czarno) w nnn-tym kroku? Zauważmy, że liczba czarnych trójkątów w nnn-tym kroku wynosi 3n3^n3n, a długość boku trójkąta w nnn-tym kroku wynosi (12)n lewa( ^frac{1}{2} ^prawa)^n(21)n. Wówczas pole czarnej przestrzeni w nnn-tym kroku jest 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n ^n ^dot ^left( ^frac{1}{2} ^n ^n 3n⋅(21)n⋅(21)n razy większe od pola pierwotnego trójkąta, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n ^cdot ^lewa( ^frac{1}{2} ^prawa)^{2n} \cdot \frac{sqrt{3}}{4} = \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{sqrt{3}}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Zbliża się to do 0 w miarę jak nnn dąży do nieskończoności. Podobnie jak w przypadku płatka śniegu Kocha, o uszczelce Sierpińskiego należy myśleć jako o wymiarze mniejszym niż 2, a mierzenie jej w niewłaściwym wymiarze daje bezsensowną odpowiedź.