Co to są fraktale i dlaczego powinno mnie to obchodzić?

Geometria fraktalna to dziedzina matematyki, która narodziła się w latach 70. ubiegłego wieku i została opracowana głównie przez Benoit Mandelbrota. Jeśli już słyszałeś o fraktalach, prawdopodobnie widziałeś poniższy obrazek. Nazywa się on zbiorem Mandelbrota i jest przykładem kształtu fraktalnego.

Geometria, której nauczyłeś się w szkole, dotyczyła tego, jak tworzyć kształty; geometria fraktalna nie jest inna. Podczas gdy kształty, które nauczyłeś się w klasycznej geometrii były „gładkie”, takie jak koło lub trójkąt, kształty, które wychodzą z geometrii fraktalnej są „szorstkie” i nieskończenie złożone. Jednak geometria fraktalna to nadal tworzenie kształtów, mierzenie kształtów i definiowanie kształtów, tak jak w szkole.

Są dwa powody, dla których powinieneś zainteresować się geometrią fraktalną:

1. Proces, w którym kształty są tworzone w geometrii fraktalnej jest zdumiewająco prosty, a jednocześnie zupełnie inny niż w geometrii klasycznej. Podczas gdy klasyczna geometria używa wzorów do zdefiniowania kształtu, geometria fraktalna używa iteracji. Dlatego odrywa się od takich gigantów jak Pitagoras, Platon czy Euklides i zmierza w innym kierunku. Geometria klasyczna cieszyła się ponad 2000 lat badań, geometria fraktalna cieszyła się tylko 40.

2. Kształty, które wychodzą z geometrii fraktalnej wyglądają jak natura. Jest to niesamowity fakt, który trudno zignorować. Jak wszyscy wiemy, nie ma idealnych kół w przyrodzie i nie ma idealnych kwadratów. Nie tylko to, ale kiedy patrzysz na drzewa, góry lub systemy rzeczne, nie przypominają one żadnych kształtów, do których jesteśmy przyzwyczajeni w matematyce. Jednak dzięki prostym formułom powtarzanym wielokrotnie, geometria fraktalna może modelować te naturalne zjawiska z niepokojącą dokładnością. Jeśli możesz użyć prostej matematyki, aby rzeczy wyglądały jak świat, to wiesz, że jesteś zwycięzcą. Geometria fraktalna robi to z łatwością.

Ten wpis na blogu powinien dać szybki przegląd tego, jak zrobić kształty fraktalne i pokazać, jak te kształty mogą przypominać naturę. Następnie należy przejść do rozmowy na temat wymiarowości, która jest fajnym sposobem pomiaru fraktali. Kończy się omówieniem jak geometria fraktalna jest również korzystna, ponieważ losowość może być wprowadzona do struktury kształtu fraktalnego. Post nie wymaga prawie żadnej matematyki i zawiera dużo ładnych obrazków

Jak zrobić fraktalny kształt

W normalnej geometrii kształty są zdefiniowane przez zestaw reguł i definicji. Na przykład trójkąt składa się z trzech prostych linii, które są połączone. Reguły są takie, że jeśli masz długość wszystkich trzech boków trójkąta to jest on całkowicie zdefiniowany, również jeśli masz długość jednego boku i dwa odpowiednie kąty to trójkąt jest również zdefiniowany. Chociaż zasady definiujące trójkąt są proste, ogromna ilość użytecznej matematyki wyszła z tego, na przykład Teoremat Pitagorasa, sin() cos() i tan(), dowód, że najkrótsza odległość między dwoma punktami jest linią prostą, itp.

Geometria fraktalna również definiuje kształty przez zasady, jednak te zasady są inne niż w klasycznej geometrii. W geometrii fraktalnej kształt jest tworzony w dwóch krokach: najpierw przez stworzenie reguły, jak zmienić pewien (zwykle klasycznie geometryczny) kształt. Ta reguła jest następnie stosowana do tego kształtu ponownie i ponownie, aż do nieskończoności. W matematyce, gdy zmieniasz coś, zwykle nazywa się to funkcją, więc to, co się dzieje, to że funkcja jest stosowana do kształtu rekurencyjnie, jak na poniższym diagramie.

Po powtórzeniu nieskończoną ilość razy, kształt fraktalny jest produkowany. Czym zatem są te funkcje? Co masz na myśli mówiąc o powtarzaniu w nieskończoność? Jak zawsze, najlepiej jest to wyjaśnić na przykładzie…

Dobry fraktalny kształt jest nazywany krzywą von Kocha. Zasady, lub funkcja, są niezwykle proste. Najpierw zaczynasz od linii prostej. To jest twój „początkowy kształt”:

Reguły są następujące:

1. Podziel każdą linię prostą na 3 równe odcinki.

2. Zastąp środkowy odcinek trójkątem równobocznym i usuń bok trójkąta odpowiadający początkowej linii prostej.

Proces ten jest przedstawiony na poniższym rysunku:

To właśnie dzieje się z linią prostą, naszym początkowym kształtem, gdy przechodzi ona przez funkcję po raz pierwszy, pierwszą iterację. Teraz, kształt, który wyprodukował jest podawany z powrotem do funkcji ponownie dla drugiej iteracji:

Pamiętaj, że zasada była taka, że każda linia prosta będzie podzielona na tercje, więc teraz 4 linie są podzielone i wykonane w trójkąty. Kształt, który jest produkowany po drugiej iteracji jest następnie przekazywany przez funkcję po raz trzeci. To staje się trudne do narysowania w MS paint, więc użyłem kilka zdjęć z tej strony internetowej dla następnych kilku etapów:

Po tym iteracji nieskończoną ilość razy kształt fraktalny jest zdefiniowany. To może wydawać się zdumiewające, ale wciąż jest możliwe do przeanalizowania matematycznie i wizualnie można zobaczyć, jak kształt zaczyna wyglądać. Poniższy gif (z Wikipedii) jest dobrą ilustracją tego, jak wygląda krzywa, gdy się ją powiększy:

Krzywa von Kocha jest doskonałym przykładem fraktala: reguła, którą stosujesz, jest prosta, a mimo to daje tak złożony kształt. Ten rodzaj kształtu jest niemożliwy do zdefiniowania przy użyciu konwencjonalnej matematyki, ale tak łatwy do zdefiniowania przy użyciu geometrii fraktalnej.

Kogo więc obchodzi krzywa von Kocha? Czy to nie tylko matematycy marnujący czas na dziwne kształty? Myślę, że to zależy od tego jak na nią patrzysz, ale ja jestem przekonany, że jest użyteczna, ponieważ wygląda dokładnie jak płatek śniegu. Staje się to bardziej oczywiste, jeśli początkowy kształt, z którym zaczynasz, jest trójkątem, a nie linią prostą:

Jest cała debata na temat celu matematyki, ale jako inżynier jestem skłonny powiedzieć, że jednym z jej celów jest próba replikacji świata wokół nas. Kształty, które powstają w matematyce fraktalnej są tak różne od konwencjonalnych kształtów matematycznych i tak podobne do otaczającego nas świata, że nie mogę nie dać się uwieść temu tematowi. Dwa inne kształty, które są moje ulubione to Paproć Barnsley:

I drzewa fraktalne:

To nie są rysunki lub zdjęcia, ale kształty matematyczne. Jeśli spojrzysz na kształty, możesz zobaczyć, jaka funkcja się powtarza. Na przykład na Barsley Fern funkcją jest narysowanie 30 lub więcej prostopadłych linii z każdej linii prostej. Funkcja powtarza się i wygląda jak paproć. Na drzewie można zobaczyć, że każda linia rozgałęzia się dwukrotnie, co będzie funkcją, która się powtarza. Inną właściwością tych kształtów (choć ściśle nie dla wszystkich fraktali) jest to, że są one samopodobne. Oznacza to, że kształt wygląda tak samo jak on, niezależnie od tego, jak bardzo go powiększysz lub pomniejszysz. Na przykład na powyższym drzewie, gdybyś odłamał gałązkę i postawił ją do góry nogami, wyglądałoby to jak oryginalne drzewo. Jeśli wziąłbyś gałązkę z gałęzi i postawił ją, nadal wyglądałaby jak oryginalne drzewo. Ponownie, jest to właściwość, która występuje w naturze, ale do geometrii fraktalnej nie było dobrego sposobu, aby umieścić go w maths.

Nie tylko te kształty wyglądają jak naturalne obiekty, ale proces iteracji brzmi intuicyjnie, gdy myślimy o naturze. Kiedy drzewo rośnie, jego pień będzie tworzył gałęzie, te gałęzie tworzą dalsze gałęzie, te gałęzie tworzą gałązki. To tak, jakby funkcja była kodem genetycznym, który mówi gałęzi, jak ma rosnąć i powtarzać się, tworząc w końcu kształty, które są „naturalne”. To może brzmieć jak pseudonauka (zdecydowanie tak jest), ale myślę, że są to koncepcje warte rozważenia, gdy jesteś w stanie naśladować naturę tak blisko.

Dość o naturze, czas porozmawiać o tym, jak fraktale mają szalone wymiary.

Wymiary

Więc teraz wiemy, czym są kształty fraktalne i jak je tworzyć, chcielibyśmy wiedzieć o nich kilka rzeczy. Jedną z nich jest długość niektórych z tych kształtów. Wróćmy do krzywej von Kocha.

Aby dowiedzieć się, jak długa jest pełna krzywa von Kocha (po iteracji nieskończoną ilość razy), warto rozważyć, co dzieje się na pierwszym etapie ponownie:

Linia jest dzielona na trzy, następnie środkowa część jest zastępowana przez dwie linie, które są tak samo długie jak ona (ponieważ jest to równy trójkąt). Jeśli więc oryginalna linia prosta miała długość 1, to długość krzywej po pierwszej iteracji wynosi 4/3. Okazuje się, że za każdym razem, gdy iterujesz kształt, staje się on o 4/3 dłuższy. Więc długość krzywej po drugiej iteracji wynosi 4/3 x 4/3 = 16/9:

Ponieważ 4/3 jest większe od 1, linia wydłuża się za każdym razem, gdy jest iterowana przez funkcję. Ponieważ iterujesz funkcję nieskończoną ilość razy, pełna krzywa von Kocha ma obwód, który jest nieskończenie długi! Tak jest w przypadku wszystkich kształtów fraktalnych: mają one nieskończenie długie obwody. To nie jest użyteczne dla matematyków, więc nie mierzą oni obwodu kształtu. Teraz kilka następnych akapitów wymaga trochę abstrakcyjnego myślenia, ale jeśli myślisz trochę poza pudełkiem to ma sens.

Obwód mierzy długość wokół czegoś. Długość jest 1 wymiarowa miara przestrzeni. Długość jest 1D, ponieważ mierzy tylko linię prostą. Miarą przestrzeni 2D jest powierzchnia, 3D jest objętość. Teraz pokazaliśmy, że nie jest użyteczne mierzenie wzorów fraktalnych w 1 wymiarze, ponieważ są one nieskończenie długie, ale co jest dziwne to to, że kształty fraktalne nie są 1D, 2D, lub 3D. Każdy kształt fraktalny ma swój własny unikalny wymiar, który jest zwykle liczbą z miejscem po przecinku.

Wymiar kształtu fraktalnego jest miarą tego, jak szybko kształt staje się skomplikowany, gdy jesteś iterując go. Co rozumiemy przez komplikowanie się? Cóż, w krzywej von Kocha można zobaczyć, że pierwsze kilka iteracji produkują dość proste kształty, jednak około iteracji 4 zaczyna stawać się dość mały i złożony.

Sposób mierzenia, jak szybko kształt staje się skomplikowany, a tym samym jego wymiar, jest pomiar, jak bardzo dłuższy obwód dostaje po każdej iteracji. Ma to sens intuicyjny, ponieważ jeśli linia staje się znacznie dłuższa po każdej iteracji, to prawdopodobnie staje się bardzo skomplikowana bardzo szybko, podczas gdy jeśli linia pozostaje prawie tej samej długości po każdej iteracji, to prawdopodobnie nie staje się bardzo skomplikowana.

Jak już pokazaliśmy, krzywa von Kocha staje się dłuższa o 4/3 po każdej iteracji. Oznacza to, że krzywa von Kocha ma długość 4/3 D, czyli 1.3333…D. Całkiem szalone, prawda? Istnieje ona gdzieś pomiędzy 1D a 2D. Ale ta miara jest naprawdę przydatna dla matematyków, ponieważ daje informacje o kształcie (podczas gdy obwód nie, jest zawsze nieskończony). Na przykład, jeśli istniałby inny kształt fraktalny, który miałby 1.93D, można by powiedzieć z pewnością, że ten kształt komplikuje się szybciej niż krzywa von Kocha, ponieważ obwód staje się 1.93 razy dłuższy po każdej iteracji, a nie 1.3333, co sugeruje, że komplikuje się szybciej. Podczas badania kształtu fraktalnego, znajomość jego wymiaru ma integralne znaczenie.

Losowość

Ostatnią rzeczą, o której będę mówił jest fakt, że losowość może być wprowadzona do kształtów fraktalnych. Losowe (lub pozornie losowe) zdarzenia występują w przyrodzie cały czas i wpływają na różne rzeczy na wiele różnych sposobów, na przykład duża część Inżynierii Informacyjnej ma do czynienia z szumem, który losowo fluktuuje sygnał elektroniczny. Kiedy próbujesz to odtworzyć, zazwyczaj dodajesz losowość do sygnału. Na przykład w elektronice stworzysz ładną sinusoidę, a następnie dodasz na nią szum (zapożyczone z tej strony):

Dolny obraz to „czysta” fala, a górny obraz to fala z dodanym szumem. Nieodłącznym założeniem podczas robienia tego jest to, że istnieje podstawowy „czysty” sygnał, który jest losowo zmieniony. Chociaż może to być prawdą w przypadku wielu urządzeń elektronicznych, nie można tego samego powiedzieć o naturze. Często nie ma „czystego” kształtu, który jest losowo zmieniany wokół krawędzi (na przykład w naturze nie ma wielu rozmytych kwadratów), ale raczej losowość wpływa na strukturę samego kształtu na każdym etapie jego ewolucji. Klasyczna geometria nie jest dobra we wprowadzaniu losowości do kształtów, podczas gdy geometria fraktalna może to robić z łatwością. Po raz ostatni wróćmy do krzywej von Kocha. Jednak tym razem wprowadzimy do niej losowość.

Wiemy, że zasada jest taka, że dla każdej iteracji tworzony jest trójkąt w środkowej trzeciej części linii. Jednak za każdym razem trójkąty są zawsze skierowane na zewnątrz. Możemy wstawić losowość mówiąc, że dla każdego utworzonego trójkąta idzie on albo powyżej linii, albo poniżej linii w zależności od rzutu monetą:

Teraz kształt będzie się rozwijał losowo zgodnie z rzutem monetą. Na przykład po wielu iteracjach krzywa von Kocha może wyglądać tak:

Albo może wyglądać zupełnie inaczej. Fajne jest to, że można wprowadzić losowość do samego kształtu, zamiast dodawać ją na wierzchu istniejącego kształtu. Ma to ekscytujący potencjał, na przykład (wracając do natury) może to być dobry sposób na modelowanie losowych mutacji genetycznych.