Wat zijn Fractals en waarom zou ik me er druk om maken?

Fractale meetkunde is een vakgebied in de wiskunde dat in de jaren zeventig is ontstaan en voornamelijk is ontwikkeld door Benoit Mandelbrot. Als je al van fractals hebt gehoord, heb je waarschijnlijk het plaatje hieronder gezien. Het wordt de Mandelbrot Set genoemd en is een voorbeeld van een fractal vorm.

De meetkunde die je op school leerde ging over hoe je vormen moest maken; fractal meetkunde is niet anders. Terwijl de vormen die je in de klassieke meetkunde leerde ‘glad’ waren, zoals een cirkel of een driehoek, zijn de vormen die uit de fractale meetkunde voortkomen ‘ruw’ en oneindig complex. Maar fractale meetkunde gaat nog steeds over het maken van vormen, het meten van vormen en het definiëren van vormen, net als op school.

Er zijn twee redenen waarom je je druk zou moeten maken over fractale meetkunde:

1. Het proces waarmee vormen in fractal geometrie worden gemaakt is verbazingwekkend eenvoudig, maar toch totaal anders dan klassieke geometrie. Terwijl de klassieke meetkunde formules gebruikt om een vorm te definiëren, maakt de fractale meetkunde gebruik van iteratie. Het breekt dus met reuzen als Pythagoras, Plato en Euclides en slaat een andere richting in. Klassieke geometrie is meer dan 2000 jaar onderzocht, fractale geometrie slechts 40.

2. De vormen die uit fractale geometrie komen lijken op de natuur. Dit is een verbazingwekkend feit dat moeilijk te negeren is. Zoals we allemaal weten, zijn er in de natuur geen perfecte cirkels en geen perfecte vierkanten. Niet alleen dat, maar als je naar bomen, bergen of rivierenstelsels kijkt, lijken ze op geen enkele vorm die men in de wiskunde gewend is. Maar met eenvoudige formules die meerdere malen worden herhaald, kan de fractale meetkunde deze natuurverschijnselen met alarmerende nauwkeurigheid modelleren. Als je eenvoudige wiskunde kunt gebruiken om dingen op de wereld te laten lijken, dan weet je dat je een winnaar hebt. Fractale meetkunde doet dit met gemak.

Deze blog post zal een kort overzicht geven van hoe fractal vormen te maken en laten zien hoe deze vormen op de natuur kunnen lijken. Vervolgens wordt ingegaan op dimensionaliteit, een coole manier om fractals te meten. Het eindigt met te bespreken hoe fractal geometrie ook gunstig is omdat willekeurigheid kan worden geïntroduceerd in de structuur van een fractal vorm. Het artikel vereist bijna geen wiskunde en bevat veel mooie plaatjes

Hoe maak je een fractal vorm

In normale meetkunde worden vormen gedefinieerd door een set regels en definities. Een driehoek bestaat bijvoorbeeld uit drie rechte lijnen die met elkaar verbonden zijn. De regels zijn dat als je de lengte hebt van alle drie de zijden van de driehoek hij volledig gedefinieerd is, ook als je de lengte hebt van één zijde en twee corresponderende hoeken is de driehoek ook gedefinieerd. Hoewel de regels die een driehoek definiëren eenvoudig zijn, zijn er enorme hoeveelheden nuttige wiskunde uit voortgekomen, bijvoorbeeld de Theorum van Pythagoras, sin() cos() en tan(), het bewijs dat de kortste afstand tussen twee punten een rechte lijn is, enz.

Fractale meetkunde definieert vormen ook door regels, maar deze regels zijn anders dan die in de klassieke meetkunde. In de fractale meetkunde wordt een vorm in twee stappen gemaakt: eerst wordt een regel gemaakt over hoe een bepaalde (meestal klassiek meetkundige) vorm moet worden veranderd. Deze regel wordt dan steeds opnieuw op de vorm toegepast, tot in het oneindige. Als je in de wiskunde iets verandert, heet dat meestal een functie, dus wat er gebeurt is dat een functie recursief op een vorm wordt toegepast, zoals in het diagram hieronder.

Nadat dit een oneindig aantal keren is herhaald, ontstaat de fractale vorm. Wat zijn die functies dan? Wat bedoelt u met oneindig herhalen? Zoals altijd is dit het beste uit te leggen met een voorbeeld…

Een goede fractal vorm heet de von Koch kromme. De regels, of functie, zijn uiterst eenvoudig. Eerst begin je met een rechte lijn. Dit is je ‘beginvorm’:

De regels zijn als volgt:

1. Verdeel elke rechte lijn in 3 gelijke segmenten.

2. Vervang het middelste segment door een gelijkzijdige driehoek, en verwijder de zijde van de driehoek die overeenkomt met de oorspronkelijke rechte lijn.

Het proces wordt getoond in de figuur hieronder:

Dit is wat er gebeurt met de rechte lijn, onze oorspronkelijke vorm, wanneer deze de eerste keer door de functie gaat, de eerste iteratie. De geproduceerde vorm wordt nu opnieuw in de functie ingevoerd voor een tweede iteratie:

Houd in gedachten dat de regel was dat elke rechte lijn in drieën zou worden gesplitst, dus nu worden 4 lijnen gesplitst en tot driehoeken gemaakt. De vorm die na de tweede iteratie ontstaat wordt dan voor een derde keer door de functie gevoerd. Dit is moeilijk te tekenen in MS paint, dus heb ik een paar plaatjes van deze website gebruikt voor de volgende stappen:

Nadat dit een oneindig aantal keren is doorgevoerd is de fractal vorm gedefinieerd. Dit klinkt misschien verbijsterend maar het is toch mogelijk om het wiskundig te analyseren en visueel kun je zien hoe de vorm eruit begint te zien. Onderstaand gifje (uit Wikipedia) laat goed zien hoe de curve eruit ziet als je erop inzoomt:

De von Koch curve is een prachtig voorbeeld van een fractal: de regel die je toepast is eenvoudig, maar toch resulteert het in zo’n complexe vorm. Zo’n vorm is onmogelijk te definiëren met conventionele wiskunde, maar zo gemakkelijk te definiëren met fractale meetkunde.

Dus wie geeft er nu om de von Koch curve? Zijn het niet gewoon wiskundigen die hun tijd verspillen aan rare vormen? Dat hangt ervan af hoe je het bekijkt, maar ik ben ervan overtuigd dat het nuttig is omdat het precies op een sneeuwvlok lijkt. Dit wordt duidelijker als je begint met een driehoek in plaats van een rechte lijn:

Er is een hele discussie gaande over het doel van wiskunde, maar als ingenieur ben ik geneigd te zeggen dat een van de doelen is om te proberen de wereld om ons heen na te bootsen. De vormen die voortkomen uit fractale wiskunde zijn zo verschillend van conventionele wiskundige vormen en zo vergelijkbaar met de wereld om ons heen dat ik niet anders kan dan verleid worden door dit onderwerp. Twee andere vormen die mijn voorkeur genieten zijn de Barnsley Fern:

en fractal trees:

Dit zijn geen tekeningen of plaatjes, maar wiskundige vormen. Als je naar de vormen kijkt, kun je zien welke functie zich herhaalt. Bijvoorbeeld op de Barsley Fern is de functie om 30 of zo loodrechte lijnen te trekken uit elke rechte lijn. De functie herhaalt zich tot en lijkt op een varen. Op de boom zie je dat elke lijn zich tweemaal vertakt, wat de functie zal zijn die zich herhaalt. Een andere eigenschap van deze vormen (hoewel strikt genomen niet voor alle fractals) is dat ze self-similar zijn. Dit betekent dat de vorm op zichzelf lijkt, hoeveel je ook inzoomt of uitzoomt. Als je bijvoorbeeld een takje van de boom hierboven zou afknippen en hem rechtop zou zetten, zou hij eruitzien als de oorspronkelijke boom. Als je een takje van de tak zou nemen en het rechtop zou zetten, zou het er nog steeds uitzien als de oorspronkelijke boom. Nogmaals, dit is een eigenschap die in de natuur voorkomt, maar tot de fractale meetkunde was er geen goede manier om dit in de wiskunde te vatten.

Niet alleen lijken deze vormen op natuurlijke objecten, maar het proces van iteratie klinkt intuïtief als je aan de natuur denkt. Als een boom groeit, maakt zijn stam takken, deze takken maken weer takken, deze takken maken twijgen. Het is alsof de functie een genetische code is die de tak vertelt hoe hij moet groeien en zichzelf moet herhalen, om uiteindelijk vormen te creëren die ‘natuurlijk’ zijn. Dit klinkt misschien als pseudo-wetenschap (dat is het zeker), maar ik denk dat dit concepten zijn die het overwegen waard zijn als je in staat bent de natuur zo dicht na te bootsen.

Goed genoeg over de natuur, tijd om te praten over hoe fractals gekke dimensies hebben.

Dimensies

Nu we dus weten wat fractal vormen zijn en hoe je ze kunt maken, willen we een paar dingen over ze weten. Een van de eerste dingen om uit te zoeken is de lengte van sommige van deze vormen. Laten we teruggaan naar de von Koch kromme.

Om uit te vinden hoe lang de volledige von Koch kromme is (na een oneindig aantal keren ge-iterateerd te zijn), is het nuttig om te kijken wat er in het eerste stadium weer gebeurt:

De lijn wordt in drieën gesplitst, vervolgens wordt het middelste gedeelte vervangen door twee lijnen die even lang zijn als de lijn (want het is een gelijke driehoek). Dus als de oorspronkelijke rechte lijn een lengte had van 1, dan is de lengte van de kromme na de eerste iteratie 4/3. Het blijkt dat elke keer dat je de vorm itereert, hij 4/3 langer wordt. Dus de lengte van de kromme na de tweede iteratie is 4/3 x 4/3 = 16/9:

Als 4/3 groter is dan 1, wordt de lijn langer bij elke iteratie door de functie. Als je de functie een oneindig aantal keren itereert, heeft de volledige von Koch kromme een omtrek die oneindig lang is! Dit geldt voor alle fractalvormen: ze hebben oneindig lange omtrekken. Dat is niet handig voor wiskundigen, dus meten ze de omtrek van de vorm niet. De volgende paragrafen vergen wat abstract denkwerk, maar als je een beetje buiten de kaders denkt is het wel logisch.

De omtrek meet de lengte om iets heen. Lengte is een 1 dimensionale maat van ruimte. Lengte is 1D omdat het alleen een rechte lijn meet. Een 2D maat van ruimte is oppervlakte, 3D is volume. Nu hebben we laten zien dat het niet zinvol is om fractale patronen in 1 dimensie te meten omdat ze oneindig lang zijn, maar wat wel vreemd is, is dat fractale vormen niet 1D, 2D, of 3D zijn. Elke fractalvorm heeft zijn eigen unieke dimensie, die meestal een getal met een decimaal is.

De dimensie van een fractalvorm is een maat voor hoe snel de vorm ingewikkeld wordt als je hem herhaalt. Wat bedoelen we met ingewikkeld worden? In de von Koch kromme zie je dat de eerste paar iteraties vrij eenvoudige vormen opleveren, maar bij ongeveer iteratie 4 begint de vorm vrij klein en complex te worden.

De manier om te meten hoe snel een vorm gecompliceerd wordt, en dus zijn dimensie, is te meten hoeveel langer de omtrek wordt na elke iteratie. Dit is intuïtief zinvol, want als de lijn na elke iteratie veel langer wordt, wordt hij waarschijnlijk heel snel heel ingewikkeld, terwijl als de lijn na elke iteratie vrijwel even lang blijft, hij waarschijnlijk niet erg ingewikkeld wordt.

Zoals we al hebben laten zien, wordt de von Koch-kromme elke iteratie 4/3 langer. Dit betekent dat de von Koch kromme 4/3 D is, of 1.3333…D. Nogal gek, niet? Hij ligt ergens tussen 1D en 2D. Maar deze maat is erg nuttig voor wiskundigen omdat hij informatie geeft over de vorm (terwijl de omtrek dat niet doet, die is altijd oneindig). Als er bijvoorbeeld een andere fractalvorm was die 1.93D was, zou je met zekerheid kunnen zeggen dat die vorm sneller complex wordt dan de von Koch kromme, omdat de omtrek na elke iteratie 1.93 keer zo lang wordt in plaats van 1.3333, wat betekent dat hij sneller complex wordt. Bij het bestuderen van een fractalvorm is het van integraal belang de dimensie ervan te kennen.

Willekeurigheid

Het laatste waar ik het over ga hebben is het feit dat willekeurigheid in fractalvormen kan worden ingebracht. Willekeurige (of schijnbaar willekeurige) gebeurtenissen komen in de natuur de hele tijd voor en beïnvloeden verschillende dingen op allerlei verschillende manieren; een groot deel van de informatica houdt zich bijvoorbeeld bezig met ruis, die een elektronisch signaal willekeurig doet fluctueren. Wanneer je dit probeert na te bootsen, voeg je gewoonlijk willekeurigheid toe aan een signaal. In de elektronica zou je bijvoorbeeld een mooie sinusgolf maken en er dan ruis overheen leggen (geleend van deze website):

De onderste afbeelding is de ‘zuivere’ golf, en de bovenste afbeelding is de golf waaraan ruis is toegevoegd. Een inherente aanname hierbij is dat er een onderliggend ‘zuiver’ signaal is dat willekeurig wordt veranderd. Dit mag dan waar zijn voor veel elektronica, maar hetzelfde kan niet worden gezegd van de natuur. Vaak is er geen “zuivere” vorm die aan de randen willekeurig wordt veranderd (er zijn bijvoorbeeld niet veel vage vierkanten in de natuur), maar beïnvloedt de willekeur de structuur van de vorm zelf in elk stadium van zijn evolutie. Klassieke meetkunde is niet goed in het opnemen van willekeur in vormen, terwijl fractale meetkunde dit gemakkelijk kan. Laten we ons voor de laatste keer richten op de von Koch kromme. Maar deze keer zullen we er willekeurigheid in brengen.

We weten dat de regel is dat voor elke iteratie een driehoek wordt gemaakt in het middelste derde deel van een lijn. Maar elke keer zijn de driehoeken altijd naar buiten gericht. We kunnen willekeur inbrengen door te zeggen dat voor elke gecreëerde driehoek, deze ofwel boven de lijn ofwel onder de lijn komt, afhankelijk van het opgooien van een munt:

Nu zal de vorm zich willekeurig ontwikkelen, afhankelijk van het opgooien van de munt. Bijvoorbeeld na meerdere iteraties kan de von Koch kromme er zo uitzien:

Of hij kan er totaal anders uitzien. Wat hier zo cool aan is, is dat je willekeurigheid in de vorm zelf kunt inbrengen in plaats van het toe te voegen bovenop een bestaande vorm. Dit heeft opwindende mogelijkheden, bijvoorbeeld (teruggrijpend naar de natuur) kan dit een goede manier zijn om willekeurige genetische mutaties te modelleren.