Het ontbinden in factoren vangraad veeltermen

plot de reele nulpunten van de gegeven veelterm op de grafiek hieronder en ze geven ons P van X is gelijk aan 2x tot de vijfde plus X tot de vierde min 2x min één wanneer ze zeggen uitgezet geven ze ons deze kleine widget hier waar als we klikken op een punt op deze krijgen we ons punt en we krijgen zo veel punten als we zouden willen en we kunnen deze punten rond slepen of als we deze punten niet meer willen kunnen we ze gewoon in de prullenbak gooien rechtsonder. Laten we eens nadenken over wat de nullen van deze polynoom eigenlijk zijn om dat te doen pak ik mijn kladblok en dit is een beetje ontmoedigend in het begin dit is een vijfde graad dit is een vijfde graad polynoom hier factoring vijfde graad polynomen is echt iets van een kunst je moet echt gaan zitten en zoeken naar patronen als ze eigenlijk verwachten dat je de nullen hier vindt zonder de hulp van een computer zonder de hulp van een rekenmachine dan moet er een soort patroon zijn dat je hier kunt uitpikken dus laat me gewoon P van X herschrijven dus P van X is gelijk aan 2x naar de vijfde plus X naar de vierde min 2x min één en één manier dat is die je meestal ziet als je dit soort veeltermen probeert te ontbinden is door de eigenschap een paar keer ongedaan te maken en als je het wilt relateren aan technieken om kwadratische breuken te ontbinden is het in feite ontbinden door groeperen dus bijvoorbeeld je ziet een 2x je ziet een 2x min 1 of iets dat lijkt op een 2x min 1 hier en hier heb je een 2x naar de dus je hebt een 2x van een hogere graad term plus een 1 X van een 1 graad lagere dus daar lijkt het een soort patroon te zijn 2 keer X van een hogere graad dit is de eerste graad term min 1 keer je zou dit kunnen zien als X tot de 0 van een lagere graad term en dus laten we er een beetje over nadenken wat er gebeurt als we in wezen proberen deze twee termen te groeperen en we groeperen deze twee termen hier en we proberen alles in factoren uit te drukken om het in wezen een beetje op te schonen om te zien of we er iets zinnigs van kunnen maken. Nou deze twee termen de grootste gemeenschappelijke factor is X tot de 4 we kunnen dit schrijven als X tot de vierde maal 2x plus 1 en dit zou ons enthousiast moeten maken want dit lijkt er vrij dicht op, vooral als we een negatieve factor zouden kunnen uitrekenen 1 zouden kunnen ontbinden en dan wordt dit 2x plus 1 en dat is opwindend want nu kunnen we 2x plus 1 ontbinden uit elk van deze termen dus je hebt 2x plus 1, we ontbinden beide termen in factoren om 2x plus 1 te krijgen die we net hebben ontbonden en als je het uit deze term ontbindt recht over dan heb je nog X tot de vierde en dan heb je alleen nog min 1 min 1 en dit is spannend want dit is veel meer dan X plus 1 dit is makkelijk uit te rekenen wanneer dit gelijk is aan 0 en dat gaan we zo doen en dit is makkelijk te factoriseren dit is een verschil van kwadraten dit hier kan worden herschrevengeschreven als kan wordengeschreven als x kwadraat plus 1 keer x kwadraat min keer x kwadraat min 1 en natuurlijk hebben we nog steeds die 2x plus 1 vooraan 2x plus 1 en opnieuw hebben we een ander verschil van kwadraten we hebben een ander verschil van kwadraten hier dat is hetzelfde als X plus 1 keer X min 1 en laat me gewoon alle andere delen van deze uitdrukking opschrijven x kwadraat plus 1 en je hebt 2x plus 1 2x plus 1 en ik denk dat ik P van X zo veel als redelijkerwijs verwacht kan worden heb verdisconteerd, dus P van X is gelijk aan al deze zaken hier onthoud de hele reden waarom ik het wilde verdisconteren is dat ik wilde uitzoeken wanneer desisting gelijk is aan 0 dus als P van X kan worden uitgedrukt als het product van een stel van deze uitdrukkingen zal het 0 zijn wanneer ten minste minstens een van deze uitdrukkingen gelijk is aan 0 als een van deze gelijk is aan 0 dan maakt dat deze hele uitdrukking gelijk aan 0 dus wanneer is 2x plus 1 gelijk aan 0 dus 2x plus 1 is gelijk aan nul nou je kunt dit waarschijnlijk in je hoofd doen wat we doen we kunnen het systematisch doen ook trek een van beide kanten af je krijgt twee x is gelijk aan negatief een deel beide kanten door 2 dan krijg je X is gelijk aan negatief 1/2 dus als x gelijk is aan negatief 1/2 of je kunt denken aan P van negatief 1/2 is 0 dus P van negatief 1/2 is 0 dus dit hier is een punt op de grafiek en het is een van de echte nulpunten nu kunnen we proberen om dit op te lossen x kwadraat plus 1 is gelijk aan 0 ik zal het gewoon opschrijven om te laten zien als we proberen om de X term aan de linkerkant te isoleren trek 1 van beide kanten aftrekken dan krijg je x in het kwadraat is gelijk aan negatief 1 als we nu aan imaginaire getallen gaan denken kunnen we bedenken wat X zou kunnen zijn maar ze willen dat we de echte nullen vinden de echte nullen dus er is geen echt getal waar dat getal in het kwadraat gelijk is aan negatief 1 dus we gaan geen nullen krijgen door dit echte nullen te zetten door dit ding gelijk te stellen aan 0 in de for real for there’s no real number x where x squared plus 1 is going to be equal to 0 now let’s think about when X plus 1 could be equal to 0 we’ll subtract 1 from both sides you get X is equal to negative 1 so P of negative 1 is going to be 0 so that’s another one of our nullen right there and then finally we have let’s think about when X min 1 is gelijk is aan 0, voeg 1 toe aan beide kanten, X is gelijk aan 1, dus we hebben nog een 0, we hebben nog een echte 0 daar en we kunnen ze uitzetten, dus het is negatief 1 negatief 1/2 en 1, dus het is negatief 1 negatief 1/2 en 1 en we kunnen ons antwoord controleren en we hebben het nu. Eén ding dat je misschien dwarszit is, Sal, je hebt dit toevallig gegroepeerd op precies de juiste manier gegroepeerd wat als ik probeer op een andere manier te groeperen wat als ik wat als ik probeer en eigenlijk laten we proberen dat te doen kan interessant zijn gewoon om je te laten zien dat dit geen voodoo is en eigenlijk zijn er verschillende manieren om er te komen dus wat als in plaats van het zo te schrijven we het schrijven in de hoogste-graad term dan de volgende hoogste graad enzovoort enzovoort je het zo zou schrijven P van X is gelijk aan 2 X tot de vijfde min 2x plus X tot de vierde min 1 nou eigenlijk zelfs op deze manier kun je een vrij interessante groepering doen als je deze twee groepeert zie je dat ze de gemeenschappelijke factor 2x hebben je factor 2x uit je krijgt 2x keer X tot de vierde min 1 en ik denk dat je ziet wat er aan de hand is en dan kan dit opnieuw wordengeschreven als plus 1 keer X tot de 4e mijn X tot de 4e min 1 min 1 en nu kun je een factor X tot de 4e min 1 wegstrepen en dan hou je gewoon in een neutrale kleur X tot de 4e min 1 keer 2x plus 1 over wat veel gemakkelijker is om nu te factoriseren verschil van kwadraten precies wat we de vorige keer deden dus er zijn verschillende manieren waarop je dit redelijkerwijs had kunnen groeperen en redelijkerwijs de distributieve eigenschap ongedaan had kunnen maken maar ik geef toe dat het een beetje een kunst is. Je moet gewoon spelen en kijken of de eerste twee termen een gemeenschappelijke factor hebben. Laten we de tweede twee termen groeperen en kijken of er een gemeenschappelijke factor is. Als we die gemeenschappelijke factoren hebben uitgefilterd, lijkt het erop dat beide termen deze gemeenschappelijke uitdrukking als factor hebben en dan kun je beginnen met die uit te factoriseren.