Fractals

Laten we eerst beginnen met de eigenschap van fractals die we hebben waargenomen in de Romanesco bloemkool.

Eigenschap: Zelfgelijkvormigheid is de eigenschap dat inzoomen op een object een zich oneindig herhalend patroon oplevert.

Een ander voorbeeld van zelfgelijkvormigheid in de natuur zijn de zich herhalende patronen van kristalliserend water en sneeuwvlokken.

“Frost patterns 2” by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Hoe beschrijven we deze zelfgelijkvormige patronen en hoe genereren we mathematisch zelfgelijkvormige vormen die bij elke vergroting reproduceerbaar zijn? We hebben fractale patronen gezien in sneeuwvlokken, dus laten we beginnen met het genereren van een zelfgelijkvormig patroon dat lijkt op een sneeuwvlok.

Koch sneeuwvlok

Start met een gelijkzijdige driehoek, maak een gelijkzijdige driehoek met het middelste derde van elke zijde als basis, en verwijder dan de basis van de driehoek. Herhaal dit proces nu voor elk lijnstuk in de resulterende figuur. Hier zijn de eerste paar iteraties:

Doorgaan met dit proces geeft de Koch sneeuwvlok in de limiet. Hier is een close-up van de rand na meerdere iteraties:

Omdat inzoomen op de Koch sneeuwvlok een kromme geeft die een kopie is van zichzelf op een kleinere schaal (de Koch kromme genoemd), vertoont de Koch sneeuwvlok zelfgelijkvormigheid.

Als de gelijkzijdige driehoek waar we mee beginnen zijde 1 heeft, dan zien we dat door elk lijnstuk te vervangen door 444 lijnstukken van een derde van de lengte, we de lengte vermenigvuldigen met 43 \frac{4}{3} 34 bij elke stap. Hieruit blijkt dat na nnn stappen de lengte van de omtrek 3⋅(43)n 3 ^n3⋅(34)n is, zodat de Kochster een oneindige omtrek heeft als hij als een 1-dimensionale kromme wordt gemeten.

Maar, zoals we later zullen zien, ontstaat dit omdat de sneeuwvlok van Koch moet worden opgevat als hebbend meer dan 1 dimensie en het proberen te meten van een vorm in de verkeerde dimensie geeft een betekenisloos antwoord. Dit is vergelijkbaar met het proberen te meten van de hoeveelheid van een zeer dunne draad die nodig is om een 2-dimensionaal vierkant te bedekken. We zouden een oneindig lange draad nodig hebben omdat we proberen een 2-dimensionaal object te meten met een 1-dimensionale kromme.

De sneeuwvlok van Koch laat zien dat fractals weliswaar complex zijn, maar dat ze kunnen worden gegenereerd door herhaaldelijk eenvoudige regels toe te passen. We kunnen de startdriehoek van de Koch sneeuwvlok zien als de initiator en de stap van het vervangen van elke lijn door een piek als de generator. Als we in plaats daarvan beginnen met een lijnstuk als initiator en de volgende generator gebruiken, krijgen we een ander patroon.

Deze voorbeelden tonen de volgende eigenschappen van fractals aan.

Fractals hebben details op willekeurig kleine schaal en vertonen onregelmatigheden die niet met de traditionele meetkundige taal kunnen worden beschreven.

Met andere woorden, fractals zijn objecten die, bij elke vergroting, nooit zullen “gladstrijken” om eruit te zien als Euclidische ruimte.

Sierpinski pakking

De Sierpinski pakking is een driehoek die is opgebouwd uit kleinere kopieën van zichzelf. Begin met een ingevulde driehoek, verbind de middens van elk van de zijden, verwijder de middelste driehoek, en itereer over de overgebleven drie ingevulde driehoeken.

Als we beginnen met een driehoek met zijde lengte 111, wat is dan de oppervlakte van de Sierpinski pakking (de ruimte gekleurd met zwart) in de nnn-de stap? Merk op dat het aantal zwarte driehoeken in de nnnde stap 3n3^n3n is en dat de lengte van de zijde van een driehoek in de nnnde stap (12)nlinks( \frac{1}{2} \rechts)^n(21)n is. Dan is de oppervlakte van de zwarte ruimte in de nnnde stap 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \left( \frac{1}{2} \right)^n \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n maal de oppervlakte van de oorspronkelijke driehoek, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \links( \frac{1}{2} \rechts)^{2n} \cdot \frac{3}}{4} = \left( \frac{3}{4} \rechts)^n \frac{3}{4} = \frac{1}{3}} \links( \frac{3}{4} \rechts)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Dit benadert 0 als nnn naar oneindig gaat. Net als bij de sneeuwvlok van Koch, moet de Sierpinski pakking worden beschouwd als een pakking met een dimensie kleiner dan 2, en meting in de verkeerde dimensie geeft een zinloos antwoord.