În primul rând, să începem cu proprietatea fractalilor pe care am observat-o în conopida Romanesco.
Proprietate: Autosimilaritatea este proprietatea ca mărirea unui obiect să producă un model care se repetă la nesfârșit.
Un alt exemplu de autosimilaritate în natură sunt modelele repetitive ale apei care se cristalizează și ale fulgilor de zăpadă.
„Frost patterns 2” by Schnobby (Licențiat sub CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)
Cum descriem aceste modele autosimilare și cum generăm matematic forme autosimilare care sunt reproductibile la orice mărire? Am văzut modele fractale în fulgii de zăpadă, așa că haideți să începem prin a genera un model autosimilar asemănător unui fulg de zăpadă.
Fulg de zăpadă Koch
Începând cu un triunghi echilateral, creați un triunghi echilateral folosind treimea de mijloc a fiecărei laturi ca bază și apoi îndepărtați baza triunghiului. Acum, repetați acest proces pentru fiecare segment de linie din figura rezultată. Iată primele câteva iterații:
Continuând acest proces se obține fulgul de zăpadă Koch la limită. Iată un prim-plan al limitei după mai multe iterații:
Din moment ce zoomul în fulgul de zăpadă Koch dă o curbă care este o copie a sa la o scară mai mică (numită curba Koch), fulgul de zăpadă Koch prezintă autosimilaritate.
Dacă triunghiul echilateral cu care începem are lungimea laturii 1, atunci observați că, înlocuind fiecare segment de dreaptă cu 444 de segmente de o treime din lungime, înmulțim lungimea cu 43 \frac{4}{3} 34 la fiecare pas. Acest lucru arată că, după nnn pași, lungimea perimetrului este 3⋅(43)n 3 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^n3⋅(34)n, deci steaua lui Koch are un perimetru infinit dacă este măsurată ca o curbă unidimensională.
Dar, după cum vom vedea mai târziu, acest lucru apare deoarece fulgul de zăpadă Koch ar trebui gândit ca având mai mult de 1 dimensiune, iar încercarea de a măsura o formă în dimensiunea greșită dă un răspuns fără sens. Acest lucru este similar cu încercarea de a măsura cantitatea de fir foarte subțire necesară pentru a acoperi un pătrat bidimensional. Am avea nevoie de un fir infinit de lung, deoarece încercăm să măsurăm un obiect bidimensional cu o curbă unidimensională.
Care este aria cuprinsă de un fulg de zăpadă Koch pornind de la un triunghi echilateral cu latura de lungime 1?
A. 1
B. 12\frac{1}{2} 21
C. 235 \frac{2\sqrt{3}}{5}523
D. 234 2 \frac{\sqrt{3}}{4}243
E. Aria este infinită
Flocul de zăpadă Koch arată că, deși fractalii sunt complecși, ei pot fi generați prin aplicarea repetată a unor reguli simple. Ne putem gândi la triunghiul de pornire al fulgului de zăpadă Koch ca fiind inițiatorul, iar la etapa de înlocuire a fiecărei linii cu un vârf ca fiind generatorul. Dacă, în schimb, începem cu un segment de linie ca inițiator și folosim următorul generator, obținem un model diferit.
Aceste exemple demonstrează următoarele proprietăți ale fractalilor.
Fractalii au detalii la scări arbitrar de mici și prezintă neregularități care nu pot fi descrise prin limbajul geometric tradițional.
Cu alte cuvinte, fractalii sunt obiecte care, la orice mărire, nu se vor „netezi” niciodată pentru a semăna cu spațiul euclidian.
Gazetă Sierpinski
Gazeta Sierpinski este un triunghi alcătuit din copii mai mici ale lui însuși. Pornind de la un triunghi umplut, conectați punctele medii ale fiecăreia dintre laturi, eliminați triunghiul din mijloc și iterați peste cele trei triunghiuri umplute rămase.
Dacă începem cu un triunghi cu latura de lungime 111, care este aria garniturii Sierpinski (spațiul colorat cu negru) în pasul nnn? Observați că numărul de triunghiuri negre în pasul nnn este 3n3^n3n și lungimea laturii unui triunghi în pasul nnn este (12)n\stânga( \frac{1}{2} \dreapta)^n(21)n. Atunci aria spațiului negru în pasul nnn este 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n de 3 ori mai mare decât aria triunghiului inițial, or
3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{sqrt{3}}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.
Acest lucru se apropie de 0 pe măsură ce nnn merge la infinit. Ca și în cazul fulgului de zăpadă Koch, garnitura Sierpinski trebuie gândită ca având o dimensiune mai mică de 2, iar măsurarea ei în dimensiunea greșită dă un răspuns fără sens.
.