plot the real zeroes of the given polynomial on the graph below and they give us P of X is equal to 2x to the fifth plus X to the fourth minus 2x minus one when they say plotted they give us this little widget here where if we click at any point on this we get our point and we get as many points as we would like we like and we can drag these points around sau, dacă nu mai vrem aceste puncte, le putem arunca în coșul de gunoi din dreapta jos. Să ne gândim care sunt de fapt zerourile acestui polinom. Pentru a face asta, îmi voi lua blocul de notițe, ceea ce este puțin descurajant la început, acesta este un polinom de gradul cinci. Dacă se așteaptă ca tu să găsești zerourile fără ajutorul unui calculator, fără ajutorul unui calculator, atunci trebuie să existe un tip de model pe care să-l găsești aici, așa că lasă-mă să rescriu P de X, deci P de X este egal cu 2x până la cinci plus X până la patru minus 2x minus unu. tipic când încerci să factorizezi acest tip de polinomial este să încerci să anulezi proprietatea distributivă de câteva ori și dacă vrei să faci legătura cu tehnicile de factorizare a cuadraturilor, este vorba de factorizare prin grupare, așa că, de exemplu, vezi un 2x, vezi un 2x minus 1 sau ceva care seamănă cu un 2x minus 1 chiar aici și aici ai un 2x până la deci avem un 2x de un grad mai mare plus un X de un grad mai mic de un grad, deci pare a fi un fel de model 2 ori X de un grad mai mare, acesta este termenul de gradul 1 minus 1 ori, putem vedea asta ca pe un X la 0 al unui termen de grad mai mic și să ne gândim puțin la asta. și încercăm să eliminăm ceva pentru a curăța puțin, pentru a vedea dacă putem înțelege ceva. Ei bine, acești doi termeni, cel mai mare factor comun este X la 4. Am putea scrie asta ca X la 4 ori 2x plus 1, ceea ce ar trebui să ne entuziasmeze, pentru că arată destul de aproape de asta, mai ales dacă am elimina un factor negativ. 1 aici, deci am putea extrage un 1 negativ și atunci acesta va fi 2x plus 1 și este interesant, pentru că acum putem extrage un 2x plus 1 din fiecare dintre acești termeni, așa că avem un 2x plus 1. Îi vom factoriza pe amândoi pentru a obține 2x plus 1, pe care tocmai l-am calculat, iar dacă îl extragem din acest termen. acest termen de aici, rămâi cu X până la al patrulea și, dacă elimini acest termen, rămâi doar cu minus 1 minus 1 și acum e interesant, pentru că e mult mai mult decât X plus 1. E destul de ușor să ne dăm seama când e egal cu 0. Vom face asta imediat și e destul de ușor de factorizat.se poate scrie ca poate fi re-ca x la pătrat plus 1 ori x la pătrat minus ori x la pătrat minus 1 și, bineînțeles, avem încă acest 2x plus 1 în față 2x plus 1 și încă o dată avem o altă diferență de pătrate, avem o altă diferență de pătrate chiar aici, care este același lucru ca X plus 1 ori X minus 1 și permiteți-mi să scriu toate celelalte părți ale expresiei x la pătrat plus 1 și… avem 2x plus 1 2x plus 1 2x plus 1 și cred că am factorizat P al lui X cât de mult se putea aștepta în mod rezonabil, deci P al lui X este egal cu toată treaba asta de aici. Țineți minte că motivul pentru care am vrut să factorizez este că am vrut să aflu când este egal cu 0, deci dacă P al lui X poate fi exprimat ca produs al mai multor expresii, va fi 0 ori de câte ori. cel puțin una dintre aceste expresii este egală cu 0. Dacă oricare dintre ele este egală cu 0, atunci toată expresia va fi egală cu 0. Deci când 2x plus 1 este egal cu 0, deci 2x plus 1 este egal cu zero. Probabil că ai putea face asta în mintea ta, dar o putem face în mod sistematic, scăzând unu din ambele părți și obținând doi x egal unu negativ. cu 2, obțineți X este egal cu 1/2 negativ, deci când x este egal cu 1/2 negativ, sau un mod de a gândi despre P de 1/2 negativ este 0, deci P de 1/2 negativ este 0, deci acest punct de aici este un punct pe grafic și este unul dintre zerourile reale. Acum am putea încerca să rezolvăm acest x la pătrat plus 1 egal 0. Îl voi scrie doar ca să vă arăt că dacă încercăm să izolăm termenul X din stânga, scădem… 1 din ambele părți, obținem că x la pătrat este egal cu 1 negativ. Acum, dacă am începe să ne gândim la numere imaginare, am putea să ne gândim la ce ar putea fi X, dar ei vor să găsim zerourile reale, zerourile reale, deci nu există niciun număr real în care numărul la pătrat să fie egal cu 1 negativ, așa că nu vom obține niciun zero stabilind acest zero real. nu există nici un număr real x în care x la pătrat plus 1 să fie egal cu 0. Acum, să ne gândim când X plus 1 ar putea fi egal cu 0. Vom scădea 1 din ambele părți și vom obține că X este egal cu 1 negativ, deci P de 1 negativ va fi 0, așa că acesta este un alt zero, iar în final, să ne gândim când X minus 1 este egal cu 0. este egal cu 0. Adăugați 1 la ambele părți, X este egal cu 1, așa că avem un alt 0, avem un alt 0 real chiar acolo, așa că le putem reprezenta grafic, așa că este 1 negativ, 1 negativ 1/2 și 1, așa că este 1 negativ, 1 negativ 1/2 și 1, și ne putem verifica răspunsul. dar dacă aș încerca să grupez într-un mod diferit, ce-ar fi dacă aș încerca să fac asta? Ar putea fi interesant, doar ca să-ți arăt că nu e voodoo și că există mai multe moduri de a ajunge acolo, există mai multe moduri de a ajunge acolo, deci ce-ar fi dacă în loc să scriem așa, am scrie în cel mai înalt…și apoi în gradul următor și așa mai departe, dacă ar fi să o scriem așa: P de X este egal cu 2 X până la al cincilea minus 2x plus X până la al patrulea minus 1. De fapt, chiar și în acest fel, puteți face o grupare destul de interesantă, dacă le grupați pe acestea două împreună, vedeți că au factorul comun 2x, dacă îl factorizați 2x, obțineți 2x ori X până la al patrulea minus 1 și cred că înțelegeți ce se întâmplă.și acum puteți elimina un X până la al 4-lea, X până la al 4-lea minus 1 minus 1 și rămâne doar o culoare neutră, X până la al 4-lea minus 1 ori 2x plus 1, ceea ce este mult mai ușor de factorizat, diferența de pătrate, exact ceea ce am făcut data trecută. dar recunosc că este o artă, trebuie să vă jucați și să vedeți dacă există un factor comun aici, să grupăm primii doi termeni, să vedem dacă există un factor comun aici, să grupăm al doilea termen, să vedem dacă există un factor comun aici, odată ce am eliminat acești factori comuni, se pare că ambii termeni au această expresie comună ca factor și atunci puteți începe să factorizați
.