Privacy & Cookies
Acest site folosește cookies. Continuând, sunteți de acord cu utilizarea acestora. Aflați mai multe, inclusiv cum să controlați cookie-urile.
Geometria fractală este un domeniu al matematicii născut în anii 1970 și dezvoltat în principal de Benoit Mandelbrot. Dacă ați auzit deja de fractali, probabil că ați văzut imaginea de mai jos. Se numește Setul Mandelbrot și este un exemplu de formă fractală.
Geometria pe care ați învățat-o la școală era despre cum să faceți forme; geometria fractală nu este diferită. În timp ce formele pe care le-ați învățat în geometria clasică erau „netede”, cum ar fi un cerc sau un triunghi, formele care reies din geometria fractală sunt „aspre” și infinit de complexe. Cu toate acestea, geometria fractală se referă în continuare la crearea de forme, măsurarea formelor și definirea formelor, exact ca la școală.
Există două motive pentru care ar trebui să vă intereseze geometria fractală:
1. Procesul prin care sunt realizate formele în geometria fractală este uimitor de simplu, dar complet diferit de geometria clasică. În timp ce geometria clasică folosește formule pentru a defini o formă, geometria fractală folosește iterația. Prin urmare, se desparte de giganți precum Pitagora, Platon și Euclid și se îndreaptă într-o altă direcție. Geometria clasică s-a bucurat de peste 2000 de ani de scrutare, geometria fractală s-a bucurat de doar 40.
2. Formele care rezultă din geometria fractală arată ca în natură. Acesta este un fapt uimitor care este greu de ignorat. După cum știm cu toții, în natură nu există cercuri perfecte și nici pătrate perfecte. Nu numai atât, dar când te uiți la copaci, munți sau sisteme de râuri, acestea nu seamănă cu nicio formă cu care suntem obișnuiți în matematică. Cu toate acestea, cu ajutorul unor formule simple iterate de mai multe ori, geometria fractală poate modela aceste fenomene naturale cu o acuratețe alarmantă. Dacă poți folosi matematica simplă pentru a face lucrurile să semene cu lumea, înseamnă că ai dat lovitura. Geometria fractală face acest lucru cu ușurință.
Acest articol de blog va oferi o scurtă prezentare generală a modului în care se pot realiza forme fractale și va arăta cum aceste forme pot semăna cu natura. Apoi va continua să vorbească despre dimensionalitate, care este un mod interesant de a măsura fractalele. Se încheie prin a discuta despre modul în care geometria fractală este, de asemenea, benefică, deoarece poate fi introdusă aleatoritatea în structura unei forme fractale. Postarea nu necesită aproape deloc matematică și include o mulțime de imagini frumoase
Cum se face o formă fractală
În geometria normală, formele sunt definite de un set de reguli și definiții. De exemplu, un triunghi este format din trei linii drepte care sunt conectate. Regulile sunt că, dacă aveți lungimea tuturor celor trei laturi ale triunghiului, acesta este complet definit, de asemenea, dacă aveți lungimea unei laturi și două unghiuri corespunzătoare, triunghiul este, de asemenea, definit. Deși regulile care definesc un triunghi sunt simple, din ele au rezultat cantități uriașe de matematică utilă, de exemplu Teorema lui Pitagora, sin() cos() și tan(), dovada că cea mai scurtă distanță dintre două puncte este o linie dreaptă etc.
Geometria fractală definește, de asemenea, formele prin reguli, însă aceste reguli sunt diferite de cele din geometria clasică. În geometria fractală, o formă se realizează în doi pași: mai întâi prin stabilirea unei reguli despre cum se modifică o anumită formă (de obicei geometrică clasică). Această regulă este apoi aplicată formei din nou și din nou, până la infinit. În matematică, atunci când schimbi ceva se numește de obicei o funcție, așa că ceea ce se întâmplă este că o funcție este aplicată unei forme în mod recursiv, ca în diagrama de mai jos.
După ce s-a repetat de un număr infinit de ori, se produce forma fractală. Ce sunt atunci aceste funcții? La ce vă referiți când spuneți că se repetă la infinit? Ca întotdeauna, acest lucru se explică cel mai bine printr-un exemplu…
O formă fractală bună se numește curba von Koch. Regulile, sau funcția, sunt extrem de simple. Mai întâi se începe cu o linie dreaptă. Aceasta este „forma ta inițială”:
Regulele sunt următoarele:
1. Împărțiți fiecare linie dreaptă în 3 segmente egale.
2. Înlocuiți segmentul din mijloc cu un triunghi echilateral și eliminați latura triunghiului care corespunde liniei drepte inițiale.
Procesul este prezentat în figura de mai jos:
Acesta este ceea ce se întâmplă cu linia dreaptă, forma noastră inițială, atunci când trece prin funcție prima dată, prima iterație. Acum, forma pe care a produs-o este introdusă din nou în funcție pentru o a doua iterație:
Amintiți-vă că regula era ca orice linie dreaptă să fie împărțită în treimi, așa că acum 4 linii sunt împărțite și transformate în triunghiuri. Forma produsă după cea de-a doua iterație este apoi introdusă în funcție pentru a treia oară. Acest lucru devine greu de desenat în MS paint, așa că am folosit câteva imagini de pe acest site pentru următoarele etape:
După ce aceasta a fost iterată de un număr infinit de ori, forma fractală este definită. Acest lucru poate părea derutant, dar este totuși posibil să fie analizat matematic și vizual se poate vedea cum începe să arate forma. Gif-ul de mai jos (de pe Wikipedia) este o bună ilustrare a modului în care arată curba prin mărirea acesteia:
Curba von Koch este un exemplu excelent de fractal: regula pe care o aplici este simplă, dar rezultă o formă atât de complexă. Acest tip de formă este imposibil de definit cu ajutorul matematicii convenționale, dar atât de ușor de definit cu ajutorul geometriei fractale.
Atunci cui îi pasă de curba von Koch? Nu sunt doar matematicieni care își pierd timpul cu forme ciudate? Cred că depinde de cum o privești, dar eu sunt convins că este utilă pentru că arată exact ca un fulg de zăpadă. Acest lucru este mai clar dacă forma inițială cu care începeți este un triunghi, mai degrabă decât o linie dreaptă:
Există o întreagă dezbatere despre scopul matematicii, dar, ca inginer, înclin să spun că unul dintre scopurile sale este să încerce să reproducă lumea din jurul nostru. Formele care reies din matematica fractală sunt atât de diferite de formele matematice convenționale și atât de asemănătoare cu lumea din jurul nostru, încât nu pot să nu mă las sedus de acest subiect. Alte două forme care sunt preferatele mele sunt Feriga Barnsley:
Și copacii fractali:
Acestea nu sunt desene sau imagini, ci forme matematice. Dacă te uiți la forme, poți vedea ce funcție se repetă. De exemplu, pe Barsley Fern, funcția este de a desena 30 și ceva de linii perpendiculare din fiecare linie dreaptă. Funcția se repetă și arată ca o ferigă. În cazul copacului, puteți vedea că fiecare linie se ramifică de două ori, ceea ce va fi funcția care se repetă. O altă proprietate despre aceste forme (deși strict nu pentru toți fractalii) este că sunt autosimilare. Acest lucru înseamnă că forma seamănă cu ea însăși oricât de mult ați mări sau micșora imaginea. De exemplu, în cazul copacului de mai sus, dacă ați rupe o creangă din el și ați ridica-o în picioare, aceasta ar arăta ca și copacul original. Dacă ați lua o creangă de pe ramură și ați ridica-o în picioare, ar arăta în continuare ca și copacul original. Din nou, aceasta este o proprietate care apare în natură, dar până la geometria fractală nu a existat o modalitate bună de a o transpune în matematică.
Nu numai că aceste forme arată ca obiectele naturale, dar procesul de iterație sună intuitiv atunci când te gândești la natură. Atunci când un copac crește, trunchiul său va crea ramuri, aceste ramuri creează alte ramuri, aceste ramuri creează crengi. Este ca și cum funcția este un cod genetic care îi spune ramurii cum să crească și să se repete, creând în cele din urmă forme care sunt „naturale”. Acest lucru poate suna ca o pseudo-știință (cu siguranță este), dar cred că sunt concepte care merită luate în considerare atunci când ești capabil să imiți natura atât de aproape.
Bine, destul despre natură, e timpul să vorbim despre cum fractalii au dimensiuni nebănuite.
Dimensiuni
Acum știm ce sunt formele fractale și cum să le creăm, am vrea să știm câteva lucruri despre ele. Unul dintre primele lucruri pe care trebuie să încercăm să le aflăm este lungimea unora dintre aceste forme. Să ne întoarcem la curba von Koch.
Pentru a ne da seama cât de lungă este curba von Koch completă (după ce a fost iterată de un număr infinit de ori), este util să luăm din nou în considerare ceea ce se întâmplă în prima etapă:
Linia este împărțită în trei, apoi secțiunea din mijloc este înlocuită de două linii care sunt la fel de lungi ca ea (deoarece este un triunghi egal). Deci, dacă linia dreaptă inițială avea o lungime de 1, lungimea curbei după prima iterație este de 4/3. Se pare că, de fiecare dată când iterați forma, aceasta devine cu 4/3 mai lungă. Deci lungimea curbei după a doua iterație este 4/3 x 4/3 = 16/9:
Cum 4/3 este mai mare decât 1, linia devine mai lungă de fiecare dată când este iterată prin funcție. Pe măsură ce iterați funcția de un număr infinit de ori, întreaga curbă von Koch are un perimetru care este infinit de lung! Acesta este cazul tuturor formelor fractale: ele au perimetre infinit de lungi. Acest lucru nu este util pentru matematicieni, așa că ei nu măsoară perimetrul formei. Acum, următoarele câteva paragrafe necesită un pic de gândire abstractă, dar dacă vă gândiți puțin în afara cutiei, are sens.
Perimetrul măsoară lungimea în jurul a ceva. Lungimea este o măsură unidimensională a spațiului. Lungimea este 1D pentru că măsoară doar o linie dreaptă. O măsură 2D a spațiului este aria, iar 3D este volumul. Acum am arătat că nu este util să măsurăm modelele fractale în 1 dimensiune, deoarece acestea sunt infinit de lungi, dar ceea ce este ciudat este că formele fractale nu sunt 1D, 2D sau 3D. Fiecare formă fractală are propria sa dimensiune unică, care este de obicei un număr cu o zecimală.
Dimensiunea unei forme fractale este o măsură a rapidității cu care forma devine complicată atunci când o iterați. Ce înțelegem prin a deveni complicată? Ei bine, în curba lui von Koch puteți vedea că primele câteva iterații produc forme destul de simple, însă în jurul iterației 4 începe să devină destul de mică și complexă.
Modul de a măsura cât de repede o formă devine complicată și, prin urmare, dimensiunea sa, este de a măsura cât de mult se lungește perimetrul după fiecare iterație. Acest lucru are sens din punct de vedere intuitiv, deoarece dacă linia devine mult mai lungă după fiecare iterație, probabil că devine foarte complicată foarte repede, în timp ce dacă linia rămâne cam de aceeași lungime după fiecare iterație, atunci probabil că nu devine foarte complexă.
După cum am arătat deja, curba von Koch devine cu 4/3 mai lungă la fiecare iterație. Acest lucru înseamnă că curba von Koch este 4/3 D, sau 1,3333…D. Destul de nebunesc, nu? Ea există undeva între 1D și 2D. Dar această măsură este foarte utilă pentru matematicieni, deoarece oferă informații despre formă (în timp ce perimetrul nu o face, este întotdeauna infinit). De exemplu, dacă ar exista o altă formă fractală care să aibă 1,93D, ați putea spune cu încredere că acea formă devine mai complexă mai repede decât curba von Koch, deoarece perimetrul devine de 1,93 ori mai lung după fiecare iterație, în loc de 1,3333, ceea ce implică faptul că devine mai rapid complexă. Atunci când se studiază o formă fractală, cunoașterea dimensiunii sale este de o importanță integrală.
Aleatorism
Ultimul lucru despre care voi vorbi este faptul că în formele fractale se poate introduce aleatorism. Evenimentele aleatoare (sau aparent aleatoare) apar în natură tot timpul și afectează diferite lucruri într-o varietate de moduri diferite, de exemplu, o mare parte din ingineria informației se ocupă de zgomot, care fluctuează aleatoriu un semnal electronic. Atunci când se încearcă să se reproducă acest lucru, se adaugă, de obicei, hazardul peste un semnal. De exemplu, în electronică, ați crea o undă sinusoidală frumoasă și apoi ați adăuga zgomot peste ea (împrumutat de pe acest site):
Imaginea de jos este unda „pură”, iar imaginea de sus este unda la care s-a adăugat zgomot. O presupunere inerentă atunci când se face acest lucru este că există un semnal „pur” subiacent care este alterat în mod aleatoriu. Deși acest lucru poate fi adevărat pentru o mulțime de electronice, nu se poate spune același lucru despre natură. Adesea, nu există o formă „pură” care să fie modificată aleatoriu în jurul marginilor (de exemplu, nu există multe pătrate neclare în natură), ci mai degrabă aleatorismul afectează structura formei în sine în fiecare etapă a evoluției sale. Geometria clasică nu se pricepe să încorporeze aleatoriul în forme, în timp ce geometria fractală o poate face cu ușurință. Pentru ultima dată, să ne întoarcem la curba von Koch. Cu toate acestea, de data aceasta vom introduce aleatorismul în ea.
Știm că regula este că pentru fiecare iterație se creează un triunghi în treimea de mijloc a unei linii. Totuși, de fiecare dată triunghiurile sunt întotdeauna orientate „spre exterior”. Am putea introduce aleatorismul spunând că pentru fiecare triunghi creat, acesta merge fie deasupra liniei, fie sub linie, în funcție de aruncarea unei monede:
Acum forma se va dezvolta la întâmplare în funcție de aruncarea monedei. De exemplu, după mai multe iterații, curba von Koch poate arăta astfel:
Sau poate arăta complet diferit. Ceea ce este grozav la acest lucru este că puteți insera aleatoritatea în forma însăși, mai degrabă decât să o adăugați peste o formă existentă. Acest lucru are un potențial interesant, de exemplu (întorcându-ne la natură) aceasta poate fi o modalitate bună de a modela mutațiile genetice aleatorii.
.