¿Qué son los fractales y por qué debería importarme?

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La geometría fractal es un campo de las matemáticas nacido en la década de 1970 y desarrollado principalmente por Benoit Mandelbrot. Si ya has oído hablar de los fractales, seguro que has visto la imagen de abajo. Se llama Conjunto de Mandelbrot y es un ejemplo de forma fractal.

La geometría que aprendiste en la escuela trataba de cómo hacer formas; la geometría fractal no es diferente. Mientras que las formas que aprendiste en la geometría clásica eran «suaves», como un círculo o un triángulo, las formas que surgen de la geometría fractal son «rugosas» e infinitamente complejas. Sin embargo, la geometría fractal sigue consistiendo en crear formas, medirlas y definirlas, igual que en la escuela.

Hay dos razones por las que debería interesarte la geometría fractal:

1. El proceso por el que se crean las formas en la geometría fractal es asombrosamente sencillo, pero completamente diferente al de la geometría clásica. Mientras que la geometría clásica utiliza fórmulas para definir una forma, la geometría fractal utiliza la iteración. Por lo tanto, rompe con gigantes como Pitágoras, Platón y Euclides y va en otra dirección. La geometría clásica ha disfrutado de más de 2000 años de escrutinio, la geometría fractal sólo ha disfrutado de 40.

2. Las formas que salen de la geometría fractal se parecen a la naturaleza. Este es un hecho sorprendente que es difícil de ignorar. Como todos sabemos, no hay círculos perfectos en la naturaleza ni cuadrados perfectos. No sólo eso, sino que cuando se observan árboles, montañas o sistemas fluviales no se parecen a ninguna de las formas a las que uno está acostumbrado en matemáticas. Sin embargo, con fórmulas sencillas repetidas varias veces, la geometría fractal puede modelar estos fenómenos naturales con una precisión alarmante. Si se pueden utilizar matemáticas sencillas para hacer que las cosas se parezcan al mundo, se sabe que se ha ganado. La geometría fractal lo hace con facilidad.

Esta entrada del blog dará una rápida visión general de cómo hacer formas fractales y mostrar cómo estas formas pueden parecerse a la naturaleza. A continuación, pasará a hablar de la dimensionalidad, que es una forma genial de medir los fractales. Termina hablando de cómo la geometría fractal también es beneficiosa porque se puede introducir la aleatoriedad en la estructura de una forma fractal. El post no requiere casi ninguna matemática e incluye muchas imágenes bonitas

Cómo hacer una forma fractal

En la geometría normal las formas se definen por un conjunto de reglas y definiciones. Por ejemplo, un triángulo está formado por tres líneas rectas que se conectan. Las reglas son que si tienes la longitud de los tres lados del triángulo está completamente definido, también si tienes la longitud de un lado y dos ángulos correspondientes el triángulo también está definido. Aunque las reglas que definen un triángulo son sencillas, de ellas han surgido enormes cantidades de matemáticas útiles, por ejemplo el Teorema de Pitágoras, sin() cos() y tan(), la prueba de que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta, etc.

La geometría fractal también define formas mediante reglas, sin embargo estas reglas son diferentes a las de la geometría clásica. En la geometría fractal una forma se hace en dos pasos: primero haciendo una regla sobre cómo cambiar una determinada forma (normalmente geométrica clásica). Esta regla se aplica a la forma una y otra vez, hasta el infinito. En matemáticas cuando se cambia algo se suele llamar función, así que lo que ocurre es que se aplica una función a una forma de forma recursiva, como el diagrama de abajo.

Después de que se haya repetido una cantidad infinita de veces, se produce la forma fractal. ¿Qué son entonces estas funciones? ¿Qué quiere decir que se repite infinitamente? Como siempre, esto se explica mejor con un ejemplo…

Una buena forma fractal se llama curva de von Koch. Las reglas, o la función, son extremadamente simples. Primero empiezas con una línea recta. Esta es tu «forma inicial»:

Las reglas son las siguientes:

1. Dividir cada recta en 3 segmentos iguales.

2. Sustituir el segmento del medio por un triángulo equilátero, y eliminar el lado del triángulo correspondiente a la recta inicial.

El proceso se muestra en la figura siguiente:

Esto es lo que le ocurre a la recta, nuestra forma inicial, cuando pasa por la función la primera vez, la primera iteración. Ahora, la forma que ha producido se introduce de nuevo en la función para una segunda iteración:

Recuerda que la regla era que cualquier línea recta se dividiría en tercios, así que ahora 4 líneas se dividen y se convierten en triángulos. La forma que se produce después de la segunda iteración se hace pasar por la función una tercera vez. Esto se vuelve difícil de dibujar en MS paint, así que he utilizado un par de imágenes de este sitio web para las siguientes etapas:

Después de esto ha iterado una cantidad infinita de veces la forma fractal se define. Esto puede parecer desconcertante, pero es posible analizarlo matemáticamente y visualmente se puede ver cómo empieza a ser la forma. El gif de abajo (de Wikipedia) es una buena ilustración del aspecto de la curva al ampliarla:

La curva de von Koch es un gran ejemplo de fractal: la regla que se aplica es simple, y sin embargo da como resultado una forma tan compleja. Este tipo de forma es imposible de definir utilizando las matemáticas convencionales, y sin embargo es tan fácil de definir utilizando la geometría fractal.

Entonces, ¿a quién le importa la curva de von Koch? ¿No son sólo matemáticos perdiendo el tiempo con formas raras? Supongo que depende de cómo se mire, pero yo estoy convencido de que es útil porque se parece exactamente a un copo de nieve. Esto queda más claro si la forma inicial con la que empiezas es un triángulo en lugar de una línea recta:

Hay todo un debate sobre el propósito de las matemáticas, pero como Ingeniero me inclino a decir que uno de sus propósitos es tratar de replicar el mundo que nos rodea. Las formas que surgen de las matemáticas fractales son tan diferentes a las formas matemáticas convencionales y tan parecidas al mundo que nos rodea que no puedo evitar que me seduzca este tema. Otras dos formas que son mis favoritas son el helecho de Barnsley:

Y los árboles fractales:

No se trata de dibujos o imágenes, sino de formas matemáticas. Si te fijas en las formas puedes ver qué función se repite. Por ejemplo en el helecho de Barsley la función es dibujar 30 líneas perpendiculares más o menos de cada línea recta. La función se repite y parece un helecho. En el árbol se puede ver que cada línea se ramifica dos veces, que será la función que se repite. Otra propiedad de estas formas (aunque estrictamente no para todos los fractales) es que son autosimilares. Esto significa que la forma se parece a sí misma por mucho que se amplíe o se reduzca. Por ejemplo, en el árbol de arriba, si arrancamos una rama y la ponemos de pie, se parecerá al árbol original. Si tomas una ramita de la rama y la pones de pie, seguirá pareciendo el árbol original. De nuevo, esta es una propiedad que se da en la naturaleza, pero hasta la geometría fractal no había una buena forma de plasmarla en las matemáticas.

No sólo estas formas se parecen a los objetos naturales, sino que el proceso de iteración suena intuitivo al pensar en la naturaleza. Cuando un árbol está creciendo, su tronco crea ramas, estas ramas crean otras ramas, estas ramas crean ramitas. Es como si la función fuera un código genético que indica a la rama cómo crecer y repetirse, creando finalmente formas que son «naturales». Esto puede sonar a pseudociencia (definitivamente lo es) pero creo que son conceptos que merece la pena tener en cuenta cuando eres capaz de imitar a la naturaleza tan de cerca.

Basta ya de hablar de la naturaleza, es hora de hablar de cómo los fractales tienen dimensiones locas.

Dimensiones

Así que ahora que sabemos qué son las formas fractales y cómo hacerlas, nos gustaría saber algunas cosas sobre ellas. Una de las primeras cosas que hay que intentar averiguar es la longitud de algunas de estas formas. Volvamos a la curva de von Koch.

Para averiguar qué longitud tiene la curva de von Koch completa (después de ser iterada una cantidad infinita de veces), es útil considerar de nuevo lo que ocurre en la primera etapa:

La línea se divide en tres, y luego la sección del medio se sustituye por dos líneas que son tan largas como ella (ya que es un triángulo igual). Así que si la recta original tenía una longitud de 1, la longitud de la curva después de la primera iteración es de 4/3. Resulta que cada vez que se itera la forma, ésta se hace 4/3 más larga. Así que la longitud de la curva después de la segunda iteración es 4/3 x 4/3 = 16/9:

Como 4/3 es mayor que 1, la recta se hace más larga cada vez que se itera la función. Al iterar la función una cantidad infinita de veces, ¡la curva completa de von Koch tiene un perímetro infinitamente largo! Este es el caso de todas las formas fractales: tienen perímetros infinitamente largos. Esto no es útil para los matemáticos, así que no miden el perímetro de la forma. Ahora los próximos párrafos requieren un poco de pensamiento abstracto, pero si usted piensa un poco fuera de la caja tiene sentido.

El perímetro mide la longitud alrededor de algo. La longitud es una medida unidimensional del espacio. La longitud es 1D porque sólo mide una línea recta. Una medida 2D del espacio es el área, 3D es el volumen. Ahora hemos demostrado que no es útil medir los patrones fractales en 1 dimensión ya que son infinitamente largos, pero lo que es extraño es que las formas fractales no son 1D, 2D o 3D. Cada forma fractal tiene su propia dimensión única, que suele ser un número con un decimal.

La dimensión de una forma fractal es una medida de la rapidez con la que la forma se complica cuando la iteramos. ¿Qué queremos decir con que se complica? Bueno, en la curva de von Koch se puede ver que las primeras iteraciones producen formas bastante simples, sin embargo alrededor de la iteración 4 comienza a volverse bastante pequeña y compleja.

La forma de medir la rapidez con que una forma se complica, y por lo tanto su dimensión, es medir cuánto se alarga el perímetro después de cada iteración. Esto tiene sentido intuitivamente, ya que si la línea se alarga mucho después de cada iteración probablemente se esté complicando muy rápidamente, mientras que si la línea se mantiene más o menos igual de larga después de cada iteración, entonces probablemente no se esté volviendo muy compleja.

Como ya hemos demostrado, la curva de von Koch se alarga 4/3 en cada iteración. Esto significa que la curva de von Koch es 4/3 D, o 1,3333…D. Bastante loco, ¿verdad? Existe en algún lugar entre 1D y 2D. Pero esta medida es realmente útil para los matemáticos ya que da información sobre la forma (mientras que el perímetro no, siempre es infinito). Por ejemplo, si hubiera otra forma fractal que fuera 1,93D, se podría decir con seguridad que esa forma se hace compleja más rápidamente que la curva de von Koch, ya que el perímetro se hace 1,93 veces más largo después de cada iteración en lugar de 1,3333, lo que implica que se hace compleja más rápidamente. Cuando se estudia una forma fractal, conocer su dimensión es de importancia integral.

Aleatoriedad

Lo último de lo que voy a hablar es del hecho de que la aleatoriedad puede insertarse en las formas fractales. Los eventos aleatorios (o aparentemente aleatorios) ocurren en la naturaleza todo el tiempo y afectan a diferentes cosas en una variedad de formas diferentes, por ejemplo, una gran parte de la Ingeniería de la Información está tratando con el ruido, que fluctúa aleatoriamente una señal electrónica. Cuando se intenta replicar esto, se suele añadir aleatoriedad a una señal. Por ejemplo, en electrónica se crea una onda sinusoidal agradable y se le añade ruido (tomado de esta página web):

La imagen inferior es la onda «pura», y la imagen superior es la onda con ruido añadido. Una suposición inherente al hacer esto es que hay una señal «pura» subyacente que se altera aleatoriamente. Si bien esto puede ser cierto para muchos productos electrónicos, no se puede decir lo mismo de la naturaleza. A menudo no hay una forma «pura» que se altere aleatoriamente en los bordes (por ejemplo, no hay muchos cuadrados difusos en la naturaleza), sino que la aleatoriedad afecta a la estructura de la propia forma en cada etapa de su evolución. La geometría clásica no es buena para incorporar la aleatoriedad a las formas, mientras que la geometría fractal puede hacerlo fácilmente. Por última vez, volvamos a la curva de von Koch. Sin embargo, esta vez insertaremos la aleatoriedad en ella.

Sabemos que la regla es que para cada iteración se crea un triángulo en el tercio medio de una línea. Sin embargo cada vez los triángulos siempre estaban orientados «hacia afuera». Podríamos insertar la aleatoriedad diciendo que para cada triángulo creado, va por encima de la línea o por debajo de la línea dependiendo de un lanzamiento de moneda:

Ahora la forma se desarrollará al azar según el lanzamiento de la moneda. Por ejemplo, después de múltiples iteraciones, la curva de von Koch puede tener este aspecto:

O puede ser completamente diferente. Lo bueno de esto es que puedes insertar la aleatoriedad en la propia forma en lugar de añadirla sobre una forma existente. Esto tiene un potencial emocionante, por ejemplo (volviendo a la naturaleza) esto puede ser una buena manera de modelar las mutaciones genéticas al azar.