What are Fractals and why should I care?

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Fractal geometryは1970年代に生まれ、主にBenoit Mandelbrotによって発展した数学分野であります。 フラクタルという言葉を既に聞いたことがある人は、下の絵を見たことがあると思います。 マンデルブロ集合と呼ばれるもので、フラクタル図形の一例です。

学校で習う幾何学は、図形の作り方でしたが、フラクタル幾何学も同じです。 古典幾何学で習った図形は円や三角形などの「なめらかな」ものでしたが、フラクタル幾何学で出てくる図形は「荒く」、無限に複雑なものです。

フラクタル幾何学に注目する理由は2つあります：

1. フラクタル幾何学で図形が作られる過程は、驚くほど単純でありながら、古典的な幾何学とは全く異なっています。 古典幾何学が数式を使って形状を定義するのに対して、フラクタル幾何学は反復を使います。 したがって、ピタゴラス、プラトン、ユークリッドといった巨人たちから離れ、別の方向へ向かうことになる。 古典幾何学は2000年以上にわたって精査されてきたが、フラクタル幾何学はわずか40年である。 フラクタル幾何学から生み出される形は、自然のものに似ている。 これは無視しがたい驚くべき事実である。 周知のように、自然界には完全な円も完全な正方形も存在しない。 そればかりか、木や山や川の流れを見ても、数学で習うような形には似ていない。 しかし、フラクタル幾何学は、簡単な数式を何度も繰り返すだけで、これらの自然現象を驚くほど正確にモデル化することができるのです。 簡単な数学で、この世のものと同じようなものを作ることができれば、それはもう大成功と言えるでしょう。

このブログ記事では、フラクタル図形の作り方の概要を説明し、これらの図形がどのように自然に似ているのかを紹介します。 次に、フラクタル図形を測定するためのクールな方法である次元性について説明します。 最後に、フラクタル形状の構造にランダム性を導入することができるため、フラクタル幾何学がいかに有益であるかを論じています。 この投稿にはほとんど数学は必要なく、きれいな絵がたくさんあります

フラクタル図形の作り方

通常の幾何学では、図形は一連の規則と定義で定義されます。 例えば三角形は3本の直線をつないだものです。 三角形の3辺の長さが全て揃えば完全に定義され、1辺の長さと対応する2つの角度が揃えば、三角形も定義されるというルールです。 例えば、ピタゴラスの定理、sin() cos() and tan()、2点間の最短距離が直線であることの証明などだ。

フラクタル幾何学も規則によって形を定義するが、これらの規則は古典幾何学の規則とは異なっている。 フラクタル幾何学では、形は2つのステップで作られます。まず、ある（通常は古典的な幾何学的）形をどのように変えるかについて規則を作ります。 この規則を何度も何度も、無限に続くまで適用していく。 数学では、何かを変えることを通常関数と呼びます。したがって、下の図のように、関数が再帰的に図形に適用されるのです。 では、その関数とは何なのでしょうか。 無限に繰り返すとはどういうことでしょうか。 いつものように、これは例によって説明するのが一番です。

優れたフラクタル図形は、フォン・コッホ曲線と呼ばれるものです。 その規則、つまり関数はきわめて単純です。 まず、直線から始めます。 これが「初期形状」です。

ルールは次のとおりです。 2. 真ん中の線分を正三角形に置き換え、最初の直線に対応する三角形の辺を削除する。

このプロセスは下図に示されています。

どんな直線も 3 分の 1 に分割されるという規則があったことを思い出して、今度は 4 本の直線が分割されて三角形になります。 2回目の繰り返しでできた図形は、3回目の関数に送られる。 MS ペイントで描くのは難しいので、次のいくつかの段階には、この Web サイトからいくつかの画像を使用しました:

これが無限に繰り返された後、フラクタル図形が定義されます。 これは不可解に聞こえるかもしれませんが、数学的に分析することは可能であり、視覚的にも形状がどのように見え始めるかを見ることができます。 下の画像 (Wikipedia より) は、曲線を拡大してどのように見えるかをよく表しています:

フォンコック曲線はフラクタルの素晴らしい例です。適用する規則は単純なのに、これほど複雑な形状になります。 この種の形状は、従来の数学では定義できないのに、フラクタル幾何学では簡単に定義できます。

では、誰がフォン・コッホ曲線を気にするのでしょうか。 それは数学者が奇妙な形に時間を費やしているだけではないでしょうか？ それは見方によるのでしょうが、私はそれが雪の結晶にそっくりだから役に立つのだと確信しています。 これは、最初の図形が直線ではなく三角形であれば、より明確になります。

数学の目的については議論がありますが、エンジニアとして私は、その目的の1つは、私たちの周りの世界を再現しようとすることだと言いたいです。 フラクタル数学から生み出される形は、従来の数学的な形とは異なり、私たちを取り巻く世界とあまりにも似ているので、この話題に魅了されずにはいられません。 私の好きな図形は、他にバーンズリー・シダ：

とフラクタル・ツリー：

これらは絵でも写真でもなく、数学的図形なのですが、この2つがあります。 図形を見ると、どのような機能が繰り返されているのかがわかります。 たとえばバースリー・ファーンでは、1本の直線から30本ほどの垂線を引くことが関数になっています。 この関数が繰り返されることで、シダのように見えるのです。 木では、それぞれの線が2回分岐しているのがわかりますが、これが繰り返される関数になります。 これらの図形に関するもう一つの性質は（厳密にはすべてのフラクタルに当てはまるわけではありませんが）、自己相似形であるということです。 つまり、どんなに拡大しても、どんなに縮小しても、その図形がそれ自身に見えるということです。 例えば、上の木は、枝を折って立てると、元の木と同じように見えるでしょう。 また、枝から小枝をとって立てても、元の木と同じように見えます。

これらの形は自然界のものに似ているだけでなく、反復のプロセスは自然界を考えるときに直感的に聞こえます。 木が成長するとき、その幹は枝を作り、その枝はさらに枝を作り、その枝は小枝を作るでしょう。 まるで機能が遺伝暗号のように、枝に成長方法を伝え、それを繰り返すことで、最終的に「自然」な形ができあがるのです。

自然の話はこのくらいにして、次はフラクタルがいかにクレイジーな次元を持っているかについてお話ししましょう。 まず最初に知るべきことは、これらの図形の長さです。 フォン・コッホ曲線に戻りましょう。

完全なフォン・コッホ曲線が (無限に繰り返された後) どの程度の長さになるかを把握するには、最初の段階で何が起こるかをもう一度考えてみると便利です：

直線は三つに分けられ、中央部分はそれと同じ長さの二つの直線で置き換えられます (等三角形になるので)。 つまり、元の直線の長さが1であれば、1回目の反復後の曲線の長さは4/3となります。 形状を反復するたびに、4/3ずつ長くなっていくことがわかります。 つまり、2回目の反復後の曲線の長さは4/3×4/3=16/9:

4/3は1より大きいので、関数を反復するたびに直線は長くなる。 関数を無限回反復すると、完全なフォン・コッホ曲線は周囲が無限に長くなります! これはすべてのフラクタル図形に当てはまることで、それらは無限に長い外周を持つのです。 それは数学者にとっては有益ではないので、形状の周囲を測定することはない。 さて、次の数段落は少し抽象的な思考が必要ですが、枠にとらわれずに考えれば、理にかなっています。

周囲は何かを囲む長さを表します。 長さは空間の1次元的な尺度である。 長さが1次元なのは、直線しか測れないからです。 空間を測る2次元の尺度は面積、3次元の尺度は体積です。 さて、フラクタルパターンは無限に長いので1次元で測るのは役に立たないことを示しましたが、奇妙なのは、フラクタル図形は1次元でも2次元でも3次元でもないことです。

フラクタル図形の次元は、反復しているときに、その図形がどれだけ早く複雑になるかを示す尺度なのです。 複雑になるとはどういうことでしょうか。 フォン・コッホ曲線では、最初の数回の反復は非常に単純な形状を生成しますが、反復4のあたりからかなり小さく複雑になり始めます。

形状がどれだけ早く複雑になるか、したがってその次元を測定する方法は、各反復後に周囲がどれだけ長くなるかを測定することです。 これは直感的に理解できる。もし反復のたびに線がずっと長くなるなら、それはおそらく非常に速く非常に複雑になり、一方、反復のたびに線がほとんど同じ長さのままなら、それはおそらくあまり複雑にはなっていない。 つまり、フォン・コッホ曲線は4/3 D、つまり1.3333…Dです。 かなりおかしいでしょう？ 1次元と2次元の間のどこかに存在しているのです。 しかし、この尺度は、形状についての情報を与えるので、数学者にとって本当に便利です（一方、周囲長はそうではなく、常に無限大です）。 例えば、1.93Dの別のフラクタル図形があったとしたら、その図形はフォン・コッホ曲線よりも早く複雑になると自信を持って言うことができます。

Randomness

最後にお話しするのは、フラクタル図形にランダム性を入れることができるという事実です。 たとえば、情報工学の大部分は、電子信号がランダムに変動するノイズを扱っています。 これを再現しようとすると、通常、信号の上にランダム性を加えることになります。 たとえば電子工学では、きれいな正弦波を作り、その上にノイズを加えます (この Web サイトから借用):

下の画像は「純粋な」波で、上の画像はノイズが加えられた波です。 これを行う際の固有の前提は、ランダムに変化する「純粋な」信号が根底に存在するということです。 これは多くの電子機器では正しいかもしれませんが、自然界では同じことは言えません。 多くの場合、エッジがランダムに変化するような「純粋な」形状は存在せず（例えば、自然界にはファジーな四角形はあまりない）、むしろランダム性が進化の各段階で形状自体の構造に影響を及ぼしているのだ。 古典的な幾何学は、形状にランダム性を取り入れるのが苦手ですが、フラクタル幾何学はそれを簡単に行うことができるのです。 最後に、フォン・コッホ曲線に目を向けてみましょう。

私たちは、反復ごとに、線の中央3分の1に三角形が作られるという規則を知っています。 しかし、毎回三角形は常に「外側」を向いている。 そこで、三角形ができるたびに、コイントスによって線の上か下かを決めると、ランダム性を持たせることができる:

これで、形状はコイントスによってランダムに展開される。 例えば、何度も繰り返すと、フォン・コッホ曲線は次のようになります：

あるいは全く違う形になります。 これの何がクールかというと、既存の形状の上にランダム性を追加するのではなく、形状そのものにランダム性を挿入できることです。 例えば（自然界に戻ると）ランダムな遺伝子の突然変異をモデル化するのに良い方法かもしれません。