Analysis of our ‘Mpemba style’ data and data from other studies
Figure 1 is plot the variation in time t0, to cool samples to 0 °C, with initial temperature from our ‘Mpemba-type’ experiments including a various studies, the past. ムペンバ効果に関して公表されている実験データの中から、幅広いものを選んで表現した。 なお、0℃に冷却するまでの時間（図5）を報告した29の慎重な実験のデータは、ムペンバ効果の証拠を示さなかったが、印刷された図から正確にデータを得ることが困難なため、含めることができなかった。 また、氷の層が25mmまで成長する時間については、凍結の過程を除外しているため、我々の解析に公平に含めることはできないが、結論を出す際には、これらの結果についても言及することにしている。 水の質量、容器の形状、そして冷却の性質は、異なるデータセット間で大きく異なり、この変動はデータの広がりに反映されています。 Fig.1から、データから何らかの結論を導き出すことは困難であるが、大まかに言えば、冷却時間は初期温度と共に増加することがわかる。 唯一の例外は、初期温度の上昇に伴って冷却時間が減少する傾向を示すデータ（広い温度範囲にわたって）を報告しているMpemba & Osborne8.のものである。
初期温度に対する0℃までの冷却時間t0 のプロットは「Mpemba型」実験に対するTiである。
データは、Mpemba & Osborne8のデータを顕著な例外として、初期温度の増加とともに冷却時間が増加する大まかな傾向を示している。
図2は図1で詳述した様々な研究からの対流時間スケールによる冷却時間t0の温度平均レイリー数による変化である（対流時間スケールと温度平均レイリー数の詳細は方法の項を参照されたい）。 Fig. 2 に含まれる研究の中には、データのスケーリングに必要な詳細が明示されていないものもあり、そのような場合は提供された情報に基づいて合理的に推定した（その詳細も方法のセクションに記載されている）。 図中のデータは、8つの独立した研究間で実験条件が大きく異なっている。 幅と高さの比D/Hが15倍、冷却される水の深さが8倍異なるにもかかわらず、冷却容器の形状に基づく冷却時間には明らかな系統的偏りがない。これは、形状が温度平均したレイリー数RaTの長さスケールに適切に反映されている可能性があることを示している。 しかし、冷却の性質によって冷却時間に明らかな偏りがあるため、データを大きく2つのデータセットに分けました。 最初のデータセットは「対流支配」データ（図2の実線で示したもの）で、底面が断熱されているか、下からの冷却が何らかの方法で阻害されているサンプルで構成されています（詳細は図2の凡例を参照してください）。 このような場合、冷凍庫の底面（または冷却板）との間で直接熱伝達が行われず、水のサンプルは主にサンプルの側面または上面から冷却され、不安定な密度成層が促進されます。 このような場合、断熱材の追加により熱伝達が阻害されるため、対流の役割が大きくなるにもかかわらず、一般的に冷却時間が長くなっています。 2つ目のデータセットは、「安定に冷却された」（図2の青い空洞の記号で示した）データで、試料の底面を通る熱流束が大きく、冷却によって少なくとも4℃以上の安定した水の成層が促進されると予想されるデータから構成されています。
図1のデータをレイリー数、RaT = tcond/tconvでスケーリングしてt0/tconv（0℃まで冷却する時間、対流時間スケール単位）変化を示したものです。
「安定に冷却された」データは青い開矢印で, 「対流が支配した」データは実印で示す. 黒実線は高レイリー数対流冷却のスケーリング(5)を示す。
個々のデータセット内のデータはほぼ一貫した傾向を示し、冷却時間はRaTとともに増加し、データセットは約
のべき乗則で最も適合している（最小二乗法の意味において）。 これは、冷却時間が
我々は、レイリー数について多くの代替定義を使用して図1のデータをスケーリングしたことに注意。例えば、すべてのパラメータを初期条件としたり、個別に温度平均したパラメータを組み合わせてレイリー数を形成したりした（式（7）を参照）。
高レイリー数対流の考察では、熱流束が流体の深さに依存しないと仮定すると、
（例えば、文献参照）が示唆される。 31）ここで、Nu＝Q／（κΔT／H）はヌッセルト数であり、κは流体の熱拡散率、Qは熱のフラックスに比例し、ΔTは流体と冷却された表面との間の特性温度差である。 そして、与えられた試料の温度の時間変化率は熱流束、すなわちQに比例し、Ra∼βΔTgH3／（κv）と考えると、式（2）から
ここでβとvは流体の熱膨張係数と動粘度、Aは流体の冷却表面積と書けばよい。 したがって
ここで
と
は初期および最終の特性温度差（流体と冷却された表面との間）である。 したがって
(5) を導く際に, 漸近的に高いレイリー数の対流が起こることを仮定したことは重要な点である. 図2にプロットした Mpemba 効果のデータ(初期レイリー数 O(1010) まで)は(5)で予測した傾向とよく一致しており, 実験データが高レイリー数であるとみなすことができる. このように、図2にプロットされたデータがMpemba効果を示さないことが示されれば、我々が論じるように、より高いレイリー数で得られたデータもMpemba効果を示さないことが予想される。 ムペンバ効果の単一の観測を確立するためには、水サンプルの初期温度の違いを除いて、あらゆる点で同一の2つの実験を比較しなければならない。 そして、温度の高いほうの水が先に冷却温度に達すれば、ムペンバ効果が観察されたとみなすことができる。 ここで、あるサンプルについて、Q = ΔE/t0 = (Ei – E0)/t0 ∝ΔT/t0 = (Ti – T0)/t0 であり、Ei と E0 はそれぞれサンプルの初期および最終エンタルピーを表します。
ムペンバ効果は、QH/QC > ΔEH/ΔEC ⇒ tc > tH、ここでtcとtHはそれぞれ低温と高温試料の冷却時間を表すので、不等式QH/QC > ΔEH/ΔEC が満たされた場合に発現したものとして報告することができる。 図3（a）は、図1に示した様々なデータの組と「第二種」の実験結果について、比QH／QCのΔEH／ΔEC（あるいは等価的にΔTH／ΔTC）に対する変化をプロットしたものである（方法の項を参照）。 図3(b)は、温度測定の空間的なばらつきを考慮した「第二のタイプ」の実験結果を強調したものである。 QH/QC = ΔEH/ΔEC の関係は、図3内の黒い実線で示されている。 したがって、この線より上にあるデータは、ムペンバ効果の観測として合理的に報告することができる。
高温と低温の同一サンプルの組における平均熱伝達率の初期温度（または同等のエンタルピー）に対する変化
(a) 図1の履歴データと我々の「第2種」実験の概要。 (b)我々の「第2種」実験の結果。 黒い実線はQH/QC=ΔTH/ΔTCを示す。 (b)の緑の十字（
）は、温度を測定する高さが1cm不正確だった場合に報告されるデータを示す。
図3aを検討すると、報告されたデータの大部分は「Mpemba効果線（QH/QC = ΔEH/ΔEC）」より下にあり、したがってこれらのケースではMpemba効果が明らかに観察されなかったことがわかる。 多くの研究からのデータは、Mpemba効果線上、またはMpemba効果線のすぐ上に位置している。 注目すべきは、これらのデータが横軸の左端に向かっている傾向があることである。つまり、高温の試料の温度は低温の試料の温度よりわずかに高いだけである。 このことは、温度測定における不正確さが重要であることを示唆しています。 このような例外的なデータセットがMpemba & Osborne8とThomas14の2つである。 Thomas14のデータはいずれもMpembaの効果線よりはるかに上にある。 実際、図3bは我々の「第2種」実験、すなわち氷の形成を避けるために、各試料内のさまざまな高さの温度を記録した実験から得られたデータをプロットしたものである。 Fig.3bには、高温側と低温側で同じ高さに記録した温度を比較したデータに加え、温度を記録した垂直方向の位置が1cm程度間違っていた場合に報告するデータ（
と表記）も含まれている。 これらのデータは、ムペンバ効果線の上に位置する観測結果であり、実験に十分な注意を払わないと、ムペンバ効果の観測であると誤って説明される可能性がある。 図中のこのデータの縦と横の位置は、他の研究でムペンバ効果の観測であると報告されているすべてのデータを含む領域を包含している。 したがって、もしある特定の実験セットで、温度測定の垂直方向の位置が1cmだけ間違っていた場合、それらの実験データから、（これも全く間違っているが）ムペンバが観察されたと結論づけることができる。 ムペンバ効果の観測を報告した研究では、著者は再現可能な方法でムペンバ効果を生み出すことができないか、温度測定の正確な高さに関する詳細が報告されていないことに注意する必要がある。 図3bに示した我々のデータでカバーされる領域を超えた観測を含む唯一の研究は、Mpemba & Osborne8によるもので、Mpemba効果線よりはるかに上に位置する観測と、横軸の右端に向かっている観測を含んでおり、これらのデータはあらゆる物理的に妥当な傾向からの著しい散乱を示していることに我々は注意を払った
我々は著者のErasto B. Mpemba氏とDenis Osborne氏の両方に接触しようと努力している。 オズボーン博士に連絡を取ろうとしたところ、2014年9月に亡くなったことを知らされ、悲しくなった。 それは彼の人生を通して、博士オズボーンは、科学と政治の両方に非常に積極的な貢献をし続けたと思われる。 ムペンバ氏は、タンザニア天然資源観光省野生生物課の主席狩猟官であったと聞いているが、今のところ連絡を取ることができない（現在は引退している）。 Mpemba & Osborne8 の実験手順や実験セットアップにおいて、このような極端なデータが記録されるに至った可能性のある系統的なエラーの原因を推測することはできなかった。
議論と結論
私たちの最善の努力にもかかわらず、Mpemba 効果として合理的に記述できる物理効果の観察を行うことができなかったと結論付けた。 さらに、既存の研究でムペンバ効果の観測と報告されているすべてのデータ（1つの研究からの唯一の例外）は、ムペンバ効果線のすぐ上にあること、すなわち、高温サンプルと低温サンプル間の冷却時間の差はわずかであることを示した。 我々は、ムペンバ効果の観測と報告されているデータの多くが、温度を測定した高さを報告していない研究によるものであり7,14,20,21,22,23、これらのデータから得られた結論は、高さを正確にモニターせずに温度を記録するだけで変わってしまった可能性があることを示した（Fig.3）。 実際、Fig.3 のムペンバ効果線のすぐ上にあるすべてのデータ（温度の測定高さを注意深くモニターして報告したデータを含む17,24,28）は、実験の性質上、ある程度の不確実性があり、最終的に観察結果がムペンバ効果の観察として記録されるかどうかに影響する可能性がある。 この記述の意味を正確に理解するために、ここで、間違いなく、文献の中で最も慎重な2つの実験セットから報告されたムペンバ効果の観察について考えてみよう28,29。 研究28は、ムペンバ効果の1つの観測データを提示しているが、「初期温度が同じでも冷却曲線が異なる」ことを報告しており、さらに、「ムペンバ効果を調べるための慎重で正確な実験は、2つの同様の容器で温水と冷水を同時に冷却することで試みることができるが、科学的に意味のある再現性の高い結果を得ることは非常に困難である」と述べている。 この研究29では、21通りの初期温度の組合せのうち、1組の初期温度、すなわち初期温度10℃と15℃の組で、ムペンバ効果（氷層が25mmの厚さに成長するまでの時間、彼らの図19）を観測する可能性があることを示している。 一定の高さ（例えば5mm）で記録したデータから、15℃から冷却した試料は約95分の平均冷却時間を示し、10℃から冷却した試料は約105分の平均を示した。したがって、この特定の温度対のデータの平均だけを取って、Mpemba効果が観察されたと表現することができる。 しかし、同一と思われる実験でも、そのばらつきは大きい。 同じ記録高さにおいて、15℃から冷却した試料では、記録された時間は95-105分の範囲に及び、10℃から冷却した試料では、記録された時間は100-110分の範囲に及んでいます。 このように、同一と思われる実験でのばらつきは、少なくとも平均値でムペンバ効果が観測されたという結論を出すには十分大きく、意味のある効果観測とは言えない。
私たちの上記の記述の唯一の例外は、劇的に暖かいサンプルが実質的に短い時間で冷却する（すなわち、図3の線QH/Qc=ΔTH/ΔTcよりはるかに上にあるデータポイント）を示すいくつかのデータが報告されている唯一の研究は、Mpemba & Osborne8が報告したデータであることです。 もし、これらのデータが再現可能な形で再現され、その基礎となるメカニズムが理解されれば、熱の移動に依存する多くのアプリケーションにとって本当に重要な意味を持つことになる。 例えば、ref. 8は、90℃の試料を30分で氷点まで冷却したのに対し、20℃の試料は氷点まで冷却するのに100分かかったと報告している。つまり、冷却中の平均熱伝達率は、試料の初期温度を上げるだけで15倍にもなることが確認されたのだ。 このような結果は、現代の熱交換器の使用により、多くの一般的な工業プロセスの効率に大きな影響を与えることになる。 しかし、その後47年間にわたり、Mpemba & Osborneが報告したのと同等の規模で「効果」を実証しようとする研究が数多く行われてきた。 私たちの研究も含め、これらの努力にもかかわらず、成功したものはない。 したがって、この特定のデータセットには根本的な欠陥がある可能性があり、したがって、再現性と反復性が示されない限り、このデータセットは誤りであると見なされなければならないと断言しなければならない。
私たちは、（標準大気条件で観測される）氷点、すなわち0℃のエンタルピー相当まで水を冷却することを調べることに主眼を置いてきたことを強調しておく。 その結果、発表された実験データの多くが漸近的に高いレイリー数対流に関連したスケーリング挙動を示すことを示すことができた。 したがって、より高いレイリー数で実験を行えば、より冷たい試料よりも速く 0 ℃に冷却される温水の試料が観測されるとは期待できない。 ムペンバ&オズボーン8による「オリジナル」の論文における定義（彼らは「水が凍り始めるまでの時間」を記録している）に似た我々のムペンバ効果の定義では、「ムペンバ効果」は本物の物理効果ではなく、科学的誤謬であると結論せざるを得なくなるのです。
もし凍結プロセスを含むようにムペンバ効果の定義を拡張するなら、凍結の効果を含めようとした多くの科学的研究、例えば文献9,21,22,28,29によって示された実験証拠を調べることができます。 水が凍結して氷になる過程は、熱力学的に激しい過程である。 例えば、0 °Cの水の質量を0 °Cの氷に変化させるのに必要なエネルギーは、同じ質量の水を液体状態の80 °Cから0 °Cに冷却するのに必要なエネルギーとほぼ等しい。 したがって、直感的には、水が完全に凍るまでの時間は、水の初期温度にはほとんど依存しないことが予想される。 しかも、凍結は核生成によって起こるので、容器の表面の凹凸や水の中の不純物など、物理的なスケールが非常に小さく、精密な実験では制御が難しい。 このような直感は、実験的な証拠によって完全に裏付けられており、凍結過程を含むムペンバ効果の再現性のある観測を報告できた研究は一つもない9,21,22,28,29。 温水が、最初に冷えた水よりも短時間で冷却・凍結する特定の例についての実験的観察は行われているが、単に高い温度から冷却を開始することによって、より短い時間（反復可能かつ統計的に有意な量だけ短い時間）で水の試料を安定して冷却・凍結できるという実験的証拠は、まだ報告されていない。 そのため、ムペンバ効果の定義に凍結プロセスが含まれていても、ムペンバ効果はいかなる意味においても観察可能ではないと結論づけることができます
私たちはこのような結論に満足していませんし、むしろその反対です。 ムペンバ効果は、あらゆる年齢や背景の人々を科学的理解の追求に引き込み、興味を持たせる素晴らしいパズルであることが証明されています。 しかし、科学者の役割は、事実を客観的に検証し、その結果を報告することによって知識を深めることであり、私たちはこの研究成果を広く伝えていかなければならないと考えています。 最後に、これまでムペンバ効果に頼っていた教育関係者の方々に希望を与えたいと思います。 科学には、そのようなインスピレーションを与え続けることができる本物の道具が数多く存在する。 例えば、2つの同じグラスに真水と塩水を入れて（どちらも同じ温度）、それぞれに氷を数個入れて、どちらが先に溶けるか観察してみましょう。 同様に、水の入ったグラスの上に薄いカードを置き、グラスを逆さまにしてカードから手を離すと、大気圧で水がグラスの中に入っていくのを観察することができる。これを繰り返し、カードを数ミリの穴を開けた硬いガーゼに変えても、水はグラスの中に入っていく32。 これらの例が、真の科学の例を求める人たちの触媒となり、将来の世代に科学的興味を抱かせる一助となることを願っている
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