フラクタル

まず、ロマネスコ・カリフラワーで観察されたフラクタルの性質から説明します。 自己相似性とは、物体にズームインすると、終わりのない繰り返しパターンが生じるという性質です。

自然界における自己相似性のもうひとつの例は、結晶化した水や雪の結晶の繰り返しパターンです。

“Frost patterns 2” by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

どのようにしてこれらの自己相似パターンを記述するか、どのように数学的に自己相似形を生成すれば、どんな倍率で再生産可能なのか？ 雪の結晶にフラクタルのパターンが見られるので、まずは雪の結晶に似た自己相似パターンを生成してみましょう。

Koch Snowflake

正三角形から始めて、各辺の中央3分の1を底面とする正三角形を作り、その底面を削除していきます。 さて、出来上がった図形の各線分について、この作業を繰り返します。 以下は最初の数回の繰り返しです：

この作業を続けると、限界のコッホの雪片が得られます。 以下は複数回繰り返した後の境界のクローズアップです：

コッホ曲線にズームインすると、より小さなスケールで自分自身のコピーである曲線（コッホ曲線と呼ぶ）が得られるので、コッホ曲線は自己相似性を示すことになるのです。

最初に作った正三角形の辺の長さが1だとすると、各線分を3分の1の長さの444本の線分に置き換えることで、長さを43倍することに気づきます ㊧️{4}{3}。 34を各ステップで行う。 これにより、nnnステップ後の外周の長さは3・(43)・n 3 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^n3⋅(34)n となり、コッホ星は1次元曲線として測ると外周が無限となることがわかります。

しかし、後で見るように、これはコッホの雪片が1次元以上あると考えるべきで、間違った次元で形を測ろうとすると意味のない答えになるために生じるものです。 これは、2次元の正方形を覆うのに必要な極細の糸の量を測ろうとするのと似ている。 2次元の物体を1次元の曲線で測ろうとしているのですから、無限に長い糸が必要なのです。

コッホの雪の結晶は、フラクタルが複雑であっても、単純な法則を繰り返し適用することで生成できることを示しています。 コッホの雪の結晶の開始の三角形をイニシエーター、各線をピークに置き換えるステップをジェネレーターと考えることができます。 代わりに、線分をイニシエーターとし、以下のジェネレーターを用いると、異なるパターンを得ることができる。

これらの例は、フラクタルが持つ次のような性質を示しています。

言い換えれば、フラクタルは、どのように拡大しても、ユークリッド空間のように「滑らかになる」ことのない物体です。

Sierpinski Gasket

Sierpinski Gasket とは、自分自身の小さなコピーからなる三角形です。 塗りつぶされた三角形から始めて、それぞれの辺の中点を結び、真ん中の三角形を取り除き、残りの3つの塗りつぶされた三角形を反復する。

辺の長さが111の三角形から始めると、nnn番目のステップでシェルピンスキー・ガスケット（黒で着色した空間）の面積はどうなるか？ nnn段目の黒い三角形の個数は3n3^n3n、nnn段目の三角形の辺の長さは(12)nmleft( \frac{1}{2} \right)^n(21)n であることを見よ。 すると、nnnステップ目の黒い部分の面積は、元の三角形の面積の3n・(12)・n・(12)・n 3^n \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n・(21)・n(21)・n倍となる。 or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. \frac{sqrt{3}} {4} = \left( \frac{3}{4} )^n \cdot \frac{sqrt{3}} {4} = \frac{1}{sqrt{3}} {4}}を満たす。 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

これはnnnが無限大になると0に近づきます。 コッホの雪片と同様に、シェルピンスキーのガスケットも2以下の次元と考えるべきで、間違った次元で測定すると意味のない答えが返ってきます。