Fractales

Primero, empecemos con la propiedad de los fractales que observamos en la coliflor de Romanesco.

Propiedad: La autosimilitud es la propiedad de que al hacer zoom en un objeto se produce un patrón de repetición interminable.

Otro ejemplo de autosimilitud en la naturaleza son los patrones de repetición de la cristalización del agua y los copos de nieve.

«Frost patterns 2» by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

¿Cómo describimos estos patrones autosimilares y cómo generamos matemáticamente formas autosimilares que sean reproducibles a cualquier aumento? Hemos visto patrones fractales en los copos de nieve, así que empecemos por generar un patrón autosimilar que se parezca a un copo de nieve.

Copo de nieve de Koch

Comenzando con un triángulo equilátero, crea un triángulo equilátero usando el tercio medio de cada lado como base, y luego quita la base del triángulo. Ahora, repite este proceso para cada segmento de línea en la figura resultante. Aquí están las primeras iteraciones:

Continuando este proceso se obtiene el copo de nieve Koch en el límite. Aquí hay un primer plano del borde después de múltiples iteraciones:

Como el zoom del copo de nieve de Koch da una curva que es una copia de sí misma a una escala más pequeña (llamada curva de Koch), el copo de nieve de Koch muestra autosimilitud.

Si el triángulo equilátero con el que empezamos tiene longitud de lado 1, entonces observa que al sustituir cada segmento de línea por 444 segmentos de un tercio de la longitud, multiplicamos la longitud por 43 \frac{4}{3} 34 en cada paso. Esto demuestra que después de nnn pasos, la longitud del perímetro es 3⋅(43)n 3 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^n3⋅(34)n, por lo que la estrella de Koch tiene un perímetro infinito si se mide como una curva unidimensional.

Sin embargo, como veremos más adelante, esto se debe a que el copo de nieve de Koch debe pensarse que tiene más de 1 dimensión y tratar de medir una forma en la dimensión equivocada da una respuesta sin sentido. Esto es similar a intentar medir la cantidad de un hilo muy fino necesaria para cubrir un cuadrado de dos dimensiones. Necesitaríamos un hilo infinitamente largo ya que estamos tratando de medir un objeto bidimensional con una curva unidimensional.

El copo de nieve de Koch muestra que, aunque los fractales son complejos, pueden generarse aplicando repetidamente reglas sencillas. Podemos pensar en el triángulo inicial del copo de nieve de Koch como el iniciador y en el paso de sustituir cada línea por un pico como el generador. Si, en cambio, empezamos con un segmento de línea como iniciador y utilizamos el siguiente generador, obtenemos un patrón diferente.

Estos ejemplos demuestran las siguientes propiedades de los fractales.

Los fractales tienen detalles a escalas arbitrariamente pequeñas y muestran una irregularidad que no puede ser descrita por el lenguaje geométrico tradicional.

En otras palabras, los fractales son objetos que, a cualquier aumento, nunca se «suavizarán» para parecerse al espacio euclidiano.

La junta de Sierpinski

La junta de Sierpinski es un triángulo formado por copias más pequeñas de sí mismo. Partiendo de un triángulo relleno, conecta los puntos medios de cada uno de los lados, elimina el triángulo del medio e itera sobre los tres triángulos rellenos restantes.

Si empezamos con un triángulo de lado 111, ¿cuál es el área de la junta de Sierpinski (el espacio coloreado de negro) en el nnnº paso? Obsérvese que el número de triángulos negros en el nnnº paso es 3n3^n3n y que la longitud del lado de un triángulo en el nnnº paso es (12)n\left( \frac{1}{2}\right)^n(21)n. Entonces el área del espacio negro en el nnnº paso es 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n veces el área del triángulo original, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \cdot \cdot izquierda( \frac{1}{2} \cdot derecha)^{2n} \cdot \frac{3}{4} = \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3}{3} \frac( \frac{3}{4} \cdot)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Esto se aproxima a 0 a medida que nnn va al infinito. Al igual que con el copo de nieve de Koch, debe pensarse que la junta de Sierpinski tiene una dimensión menor que 2, y medirla en la dimensión incorrecta da una respuesta sin sentido.