Test de Wald : Définition, exemples, exécution du test

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Qu’est-ce que le test de Wald ?

Le test de Wald peut vous indiquer quelles variables du modèle contribuent à quelque chose de significatif.

Le test de Wald (également appelé test du khi-carré de Wald) est un moyen de savoir si les variables explicatives d’un modèle sont significatives. « Significatives » signifie qu’elles ajoutent quelque chose au modèle ; les variables qui n’ajoutent rien peuvent être supprimées sans affecter le modèle de manière significative. Le test peut être utilisé pour une multitude de modèles différents, y compris ceux avec des variables binaires ou des variables continues.
L’hypothèse nulle pour le test est : un certain paramètre = une certaine valeur. Par exemple, vous pourriez étudier si le poids est affecté par la consommation de malbouffe deux fois par semaine. Le « poids » serait votre paramètre. La valeur pourrait être zéro (indiquant que vous ne pensez pas que le poids est affecté par la consommation de malbouffe). Si l’hypothèse nulle est rejetée, cela suggère que les variables en question peuvent être supprimées sans grand dommage pour l’ajustement du modèle.

• Si le test de Wald montre que les paramètres de certaines variables explicatives sont nuls, vous pouvez retirer les variables du modèle.
• Si le test montre que les paramètres ne sont pas nuls, vous devez inclure les variables dans le modèle.

On parle généralement du test de Wald en termes de chi-deux, car la distribution d’échantillonnage (lorsque n approche l’infini) est habituellement connue. Cette variante du test est parfois appelée test du khi-deux de Wald pour le différencier du test du khi-deux log-linéaire de Wald, qui est une variante non paramétrique basée sur les rapports de cotes logarithmiques.

Comparaison avec d’autres tests

Le test de Wald est une approximation grossière du test du rapport de vraisemblance. Cependant, vous pouvez l’exécuter avec un seul modèle (le test LR en nécessite au moins deux). Il est également plus largement applicable que le LR : souvent, vous pouvez exécuter un Wald dans des situations où aucun autre test ne peut être exécuté.

Pour de grandes valeurs de n, le test de Wald est à peu près équivalent au test t ; les deux tests rejetteront les mêmes valeurs pour des échantillons de grande taille. Les tests de Wald, de LRT et du multiplicateur de Lagrange sont tous équivalents lorsque la taille des échantillons s’approche de l’infini (on dit qu’ils sont « asymptotiquement équivalents »). Cependant, les échantillons de taille finie, en particulier les plus petits, sont susceptibles de donner des résultats très différents.

Agresti (1990) suggère que vous devriez utiliser le LRT au lieu du test de Wald pour les petites tailles d’échantillon ou si les paramètres sont grands. Une « petite » taille d’échantillon est inférieure à environ 30.

Exécution du test

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La formule de la statistique du test de Wald est :

Où :

• = estimateur du maximum de vraisemblance (MLE),
• = information de Fisher attendue (évaluée au MLE).

Basiquement, le test recherche les différences : Θ0 – Θ. Les étapes générales sont :

1. Trouver l’ELM.
2. Trouver l’information de Fisher attendue.
3. Evaluer l’information de Fisher à l’ELM.

Avec la combinaison de l’ELM et de l’information de Fisher, le test de Wald est très complexe à travailler et n’est généralement pas calculé à la main. De nombreux logiciels peuvent exécuter le test.

• Stata : utilisez la commande test.
• R : voir les instructions du test WALD pour R (télécharge un PDF) de l’Université de Toronto.
• SAS : utilisez l’instruction TEST. WALD est la valeur par défaut si aucun test n’est spécifié.

Référence:
Agresti A. (1990) Analyse des données catégorielles. John Wiley and Sons, New York.

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