Que sont les fractales et pourquoi devrais-je m’y intéresser ?

La géométrie fractale est un domaine des mathématiques né dans les années 1970 et principalement développé par Benoit Mandelbrot. Si vous avez déjà entendu parler des fractales, vous avez probablement vu l’image ci-dessous. Elle s’appelle l’ensemble de Mandelbrot et est un exemple de forme fractale.

La géométrie que vous avez apprise à l’école portait sur la façon de créer des formes ; la géométrie fractale n’est pas différente. Alors que les formes que vous avez apprises en géométrie classique étaient  » lisses « , comme un cercle ou un triangle, les formes issues de la géométrie fractale sont  » rugueuses  » et infiniment complexes. Cependant, la géométrie fractale consiste toujours à fabriquer des formes, à mesurer des formes et à définir des formes, tout comme à l’école.

Il y a deux raisons pour lesquelles vous devriez vous intéresser à la géométrie fractale :

1. Le processus par lequel les formes sont faites en géométrie fractale est étonnamment simple et pourtant complètement différent de la géométrie classique. Alors que la géométrie classique utilise des formules pour définir une forme, la géométrie fractale utilise l’itération. Elle s’éloigne donc des géants tels que Pythagore, Platon et Euclide et prend une autre direction. La géométrie classique a bénéficié de plus de 2000 ans d’examen, la géométrie fractale n’en a bénéficié que de 40.

2. Les formes issues de la géométrie fractale ressemblent à la nature. C’est un fait étonnant qu’il est difficile d’ignorer. Comme nous le savons tous, il n’y a pas de cercles parfaits dans la nature, ni de carrés parfaits. De plus, lorsque vous regardez des arbres, des montagnes ou des systèmes fluviaux, ils ne ressemblent à aucune des formes auxquelles vous êtes habitué en mathématiques. Cependant, avec des formules simples répétées plusieurs fois, la géométrie fractale peut modéliser ces phénomènes naturels avec une précision alarmante. Si vous pouvez utiliser des mathématiques simples pour faire en sorte que des choses ressemblent au monde, vous savez que vous êtes sur la bonne voie. La géométrie fractale le fait avec facilité.

Ce billet de blog donnera un aperçu rapide de la façon de faire des formes fractales et montrera comment ces formes peuvent ressembler à la nature. Il parlera ensuite de la dimensionnalité, qui est une façon cool de mesurer les fractales. Il se termine en discutant de la façon dont la géométrie fractale est également bénéfique car le caractère aléatoire peut être introduit dans la structure d’une forme fractale. Le post ne nécessite presque pas de maths et comprend beaucoup de jolies images

Comment faire une forme fractale

En géométrie normale, les formes sont définies par un ensemble de règles et de définitions. Par exemple, un triangle est constitué de trois lignes droites qui sont connectées. Les règles sont que si vous avez la longueur des trois côtés du triangle, il est complètement défini, également si vous avez la longueur d’un côté et deux angles correspondants, le triangle est également défini. Bien que les règles définissant un triangle soient simples, d’énormes quantités de mathématiques utiles en sont sorties, par exemple le Théorème de Pythagore, sin() cos() et tan(), la preuve que la plus courte distance entre deux points est une ligne droite, etc.

La géométrie fractale définit également des formes par des règles, cependant ces règles sont différentes de celles de la géométrie classique. En géométrie fractale, une forme est faite en deux étapes : d’abord en établissant une règle sur la façon de modifier une certaine forme (généralement de géométrie classique). Cette règle est ensuite appliquée à la forme, encore et encore, jusqu’à l’infini. En mathématiques, lorsque vous modifiez quelque chose, on l’appelle généralement une fonction, donc ce qui se passe, c’est qu’une fonction est appliquée à une forme de manière récursive, comme le schéma ci-dessous.

Après avoir été répétée une quantité infinie de fois, la forme fractale est produite. Quelles sont donc ces fonctions ? Qu’entendez-vous par répéter à l’infini ? Comme toujours, c’est mieux expliqué par un exemple…

Une bonne forme fractale s’appelle la courbe de von Koch. Les règles, ou la fonction, sont extrêmement simples. D’abord vous commencez avec une ligne droite. C’est votre « forme initiale »:

Les règles sont les suivantes:

1. Divisez chaque ligne droite en 3 segments égaux.

2. Remplacez le segment du milieu par un triangle équilatéral, et retirez le côté du triangle correspondant à la ligne droite initiale.

Le processus est illustré dans la figure ci-dessous:

C’est ce qui arrive à la ligne droite, notre forme initiale, lorsqu’elle passe par la fonction la première fois, la première itération. Maintenant, la forme qu’elle a produite est réintroduite dans la fonction pour une deuxième itération:

Souvenez-vous que la règle était que toute ligne droite serait divisée en tiers, donc maintenant 4 lignes sont divisées et transformées en triangles. La forme qui est produite après la deuxième itération est ensuite introduite dans la fonction pour une troisième fois. Cela devient difficile à dessiner dans MS paint donc j’ai utilisé quelques images de ce site web pour les étapes suivantes :

Après que cela ait itéré une quantité infinie de fois, la forme fractale est définie. Cela peut sembler déconcertant mais il est toujours possible de l’analyser mathématiquement et visuellement, vous pouvez voir à quoi la forme commence à ressembler. Le gif ci-dessous (tiré de Wikipédia) est une bonne illustration de ce à quoi ressemble la courbe en zoomant dessus :

La courbe de von Koch est un excellent exemple de fractale : la règle que vous appliquez est simple, et pourtant elle aboutit à une forme si complexe. Ce genre de forme est impossible à définir en utilisant les mathématiques conventionnelles, mais si facile à définir en utilisant la géométrie fractale.

Alors, qui se soucie de la courbe de von Koch ? N’est-ce pas juste des mathématiciens qui perdent leur temps sur des formes bizarres ? Je suppose que cela dépend de la façon dont vous la regardez, mais je suis convaincu qu’elle est utile parce qu’elle ressemble exactement à un flocon de neige. Cela devient plus clair si la forme initiale avec laquelle vous commencez est un triangle plutôt qu’une ligne droite :

Il y a tout un débat à avoir sur le but des maths, mais en tant qu’ingénieur, je suis enclin à dire que l’un de ses buts est d’essayer de reproduire le monde qui nous entoure. Les formes issues des mathématiques fractales sont si différentes des formes mathématiques conventionnelles et si semblables au monde qui nous entoure que je ne peux m’empêcher d’être séduit par ce sujet. Deux autres formes qui sont mes favorites sont la fougère de Barnsley :

Et les arbres fractals :

Ce ne sont pas des dessins ou des images, mais des formes mathématiques. Si vous regardez les formes, vous pouvez voir quelle fonction se répète. Par exemple sur la Fougère de Barsley, la fonction est de dessiner une trentaine de lignes perpendiculaires à partir de chaque ligne droite. La fonction se répète et ressemble à une fougère. Sur l’arbre, vous pouvez voir que chaque ligne se ramifie deux fois, ce qui correspond à la fonction qui se répète. Une autre propriété de ces formes (bien que ce ne soit pas le cas pour toutes les fractales) est qu’elles sont auto-similaires. Cela signifie que la forme se ressemble à elle-même, quel que soit le degré de zoom avant ou arrière. Par exemple, si vous arrachez une branche de l’arbre ci-dessus et que vous le mettez debout, il ressemblera à l’arbre original. Si vous prenez une brindille de la branche et la mettez debout, elle ressemblera toujours à l’arbre d’origine. Encore une fois, il s’agit d’une propriété qui se produit dans la nature, mais jusqu’à la géométrie fractale, il n’y avait pas une bonne façon de la mettre en maths.

Non seulement ces formes ressemblent à des objets naturels, mais le processus d’itération semble intuitif quand on pense à la nature. Quand un arbre pousse, son tronc va créer des branches, ces branches créent d’autres branches, ces branches créent des brindilles. C’est comme si la fonction était un code génétique indiquant à la branche comment croître et se répéter, pour finalement créer des formes « naturelles ». Cela peut ressembler à de la pseudo-science (c’est définitivement le cas) mais je pense que ce sont des concepts qui valent la peine d’être pris en compte lorsque vous êtes capable d’imiter la nature de si près.

Droit assez sur la nature, il est temps de parler de la façon dont les fractales ont des dimensions folles.

Dimensions

Alors maintenant que nous savons ce que sont les formes fractales et comment les faire, nous aimerions savoir quelques choses à leur sujet. Une des premières choses à essayer de comprendre est la longueur de certaines de ces formes. Revenons à la courbe de von Koch.

Pour déterminer la longueur de la courbe de von Koch complète (après avoir été itérée une quantité infinie de fois), il est utile de considérer à nouveau ce qui se passe à la première étape :

La ligne est divisée en trois, puis la section centrale est remplacée par deux lignes qui sont aussi longues qu’elle (car c’est un triangle égal). Donc si la ligne droite d’origine avait une longueur de 1, la longueur de la courbe après la première itération est de 4/3. Il s’avère que chaque fois que vous itérez la forme, elle s’allonge de 4/3. Ainsi, la longueur de la courbe après la deuxième itération est 4/3 x 4/3 = 16/9:

Comme 4/3 est supérieur à 1, la ligne s’allonge à chaque itération de la fonction. Comme vous itérez la fonction un nombre infini de fois, la courbe de von Koch complète a un périmètre infiniment long ! C’est le cas pour toutes les formes fractales : elles ont des périmètres infiniment longs. Ce n’est pas utile pour les mathématiciens, ils ne mesurent donc pas le périmètre de la forme. Maintenant, les quelques paragraphes suivants nécessitent un peu de pensée abstraite, mais si vous pensez un peu en dehors de la boîte, cela a du sens.

Le périmètre mesure la longueur autour de quelque chose. La longueur est une mesure unidimensionnelle de l’espace. La longueur est 1D parce qu’elle mesure seulement une ligne droite. Une mesure 2D de l’espace est la surface, 3D est le volume. Nous avons montré qu’il n’est pas utile de mesurer les motifs fractals en une dimension, car ils sont infiniment longs, mais ce qui est étrange, c’est que les formes fractales ne sont ni 1D, ni 2D, ni 3D. Chaque forme fractale a sa propre dimension unique, qui est généralement un nombre avec une décimale.

La dimension d’une forme fractale est une mesure de la vitesse à laquelle la forme devient compliquée lorsque vous l’itérez. Qu’est-ce qu’on entend par se compliquer ? Eh bien dans la courbe de von Koch, vous pouvez voir que les premières itérations produisent des formes assez simples, cependant à environ l’itération 4, elle commence à devenir assez petite et complexe.

La façon de mesurer à quelle vitesse une forme se complique, et donc sa dimension, est de mesurer combien le périmètre s’allonge après chaque itération. Cela a du sens intuitivement, car si la ligne s’allonge beaucoup après chaque itération, elle devient probablement très compliquée très rapidement, alors que si la ligne reste à peu près de la même longueur après chaque itération, alors elle ne devient probablement pas très complexe.

Comme nous l’avons déjà montré, la courbe de von Koch s’allonge de 4/3 à chaque itération. Cela signifie que la courbe de von Koch est 4/3 D, ou 1.3333…D. C’est fou, non ? Elle existe quelque part entre 1D et 2D. Mais cette mesure est vraiment utile aux mathématiciens car elle donne des informations sur la forme (alors que le périmètre ne le fait pas, il est toujours infini). Par exemple, s’il existait une autre forme fractale de 1,93D, on pourrait dire avec certitude que cette forme se complexifie plus rapidement que la courbe de von Koch, car le périmètre devient 1,93 fois plus long après chaque itération plutôt que 1,3333, ce qui implique qu’elle se complexifie plus rapidement. Lorsque l’on étudie une forme fractale, connaître sa dimension est d’une importance capitale.

L’aléatoire

La dernière chose dont je vais parler est le fait que l’aléatoire peut être inséré dans les formes fractales. Les événements aléatoires (ou apparemment aléatoires) se produisent tout le temps dans la nature et affectent différentes choses de différentes manières, par exemple une grande partie de l’ingénierie de l’information traite du bruit, qui fluctue aléatoirement un signal électronique. Pour tenter de reproduire ce phénomène, on ajoute généralement du hasard à un signal. Par exemple, en électronique, vous créeriez une belle onde sinusoïdale, puis vous ajouteriez du bruit par-dessus (emprunté à ce site web):

L’image du bas est l’onde ‘pure’, et l’image du haut est l’onde avec le bruit ajouté. Une hypothèse inhérente quand on fait cela est qu’il y a un signal ‘pur’ sous-jacent qui est altéré de manière aléatoire. Si cela peut être vrai pour de nombreux appareils électroniques, il n’en va pas de même pour la nature. Souvent, il n’y a pas de forme « pure » dont les bords sont modifiés de manière aléatoire (par exemple, il n’y a pas beaucoup de carrés flous dans la nature), mais le hasard affecte la structure de la forme elle-même à chaque étape de son évolution. La géométrie classique ne parvient pas à incorporer le caractère aléatoire dans les formes, alors que la géométrie fractale peut le faire facilement. Pour la dernière fois, nous allons nous tourner vers la courbe de von Koch. Cependant cette fois nous allons y insérer du hasard.

Nous savons que la règle est que pour chaque itération un triangle est créé dans le tiers central d’une ligne. Cependant, à chaque fois, les triangles étaient toujours orientés « vers l’extérieur ». Nous pourrions insérer du hasard en disant que pour chaque triangle créé, il va soit au-dessus de la ligne, soit en dessous de la ligne en fonction d’un tirage au sort :

Maintenant la forme va se développer au hasard en fonction du tirage au sort. Par exemple, après plusieurs itérations, la courbe de von Koch peut ressembler à ceci:

Ou elle peut être complètement différente. Ce qui est cool dans tout cela, c’est que vous pouvez insérer le caractère aléatoire dans la forme elle-même plutôt que de l’ajouter par-dessus une forme existante. Cela a un potentiel excitant, par exemple (pour revenir à la nature) cela peut être un bon moyen de modéliser les mutations génétiques aléatoires.