Fractales

D’abord, commençons par la propriété des fractales que nous avons observée dans le chou-fleur Romanesco.

Propriété : L’auto-similarité est la propriété selon laquelle le fait de zoomer sur un objet produit un motif répétitif sans fin.

Un autre exemple d’autosimilarité dans la nature sont les motifs répétitifs de l’eau cristallisée et des flocons de neige.

« Frost patterns 2 » by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Comment décrire ces motifs autosimilaires et comment générer mathématiquement des formes autosimilaires reproductibles à tout grossissement ? Nous avons vu des motifs fractals dans les flocons de neige, alors commençons par générer un motif autosimilaire ressemblant à un flocon de neige.

Flocon de Koch

En commençant par un triangle équilatéral, créez un triangle équilatéral en utilisant le tiers médian de chaque côté comme base, puis retirez la base du triangle. Maintenant, répétez ce processus pour chaque segment de ligne dans la figure résultante. Voici les premières itérations:

Continuer ce processus donne le flocon de neige Koch à la limite. Voici un gros plan de la limite après de multiples itérations:

Puisque le zoom sur le flocon de neige de Koch donne une courbe qui est une copie d’elle-même à une échelle plus petite (appelée courbe de Koch), le flocon de neige de Koch présente une auto-similarité.

Si le triangle équilatéral par lequel on commence a pour côté la longueur 1, alors remarquez qu’en remplaçant chaque segment de ligne par 444 segments d’un tiers de la longueur, on multiplie la longueur par 43 \frac{4}{3}. 34 à chaque étape. Cela montre qu’après nnn étapes, la longueur du périmètre est 3⋅(43)n 3 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^n3⋅(34)n, donc l’étoile de Koch a un périmètre infini si elle est mesurée comme une courbe à 1 dimension.

Cependant, comme nous le verrons plus tard, cela se pose parce que le flocon de neige de Koch doit être considéré comme ayant plus d’une dimension et essayer de mesurer une forme dans la mauvaise dimension donne une réponse sans signification. Cela revient à essayer de mesurer la quantité d’un fil très fin nécessaire pour couvrir un carré à deux dimensions. Nous aurions besoin d’un fil infiniment long puisque nous essayons de mesurer un objet bidimensionnel avec une courbe unidimensionnelle.

Le flocon de neige de Koch montre que même si les fractales sont complexes, elles peuvent être générées par l’application répétée de règles simples. Nous pouvons considérer le triangle de départ du flocon de neige de Koch comme l’initiateur et l’étape consistant à remplacer chaque ligne par un pic comme le générateur. Si nous commençons plutôt par un segment de ligne comme initiateur et que nous utilisons le générateur suivant, nous obtenons un motif différent.

Ces exemples démontrent les propriétés suivantes des fractales.

Les fractales ont des détails à des échelles arbitrairement petites et présentent une irrégularité qui ne peut être décrite par le langage géométrique traditionnel.

En d’autres termes, les fractales sont des objets qui, à n’importe quel grossissement, ne se « lisseront » jamais pour ressembler à l’espace euclidien.

Gasket de Sierpinski

Le gasket de Sierpinski est un triangle constitué de plus petites copies de lui-même. En commençant par un triangle rempli, on relie les points médians de chacun des côtés, on enlève le triangle médian et on itère sur les trois triangles remplis restants.

Si on commence par un triangle de longueur de côté 111, quelle est l’aire du joint de Sierpinski (l’espace coloré par du noir) au nnnième pas ? Observez que le nombre de triangles noirs dans la nnnième étape est 3n3^n3n et que la longueur du côté d’un triangle dans la nnnième étape est (12)n\gauche( \frac{1}{2} \droite)^n(21)n. Alors l’aire de l’espace noir dans la nnnième étape est 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n fois l’aire du triangle original, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{\sqrt{3} \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Ceci se rapproche de 0 lorsque nnn va vers l’infini. Comme pour le flocon de neige de Koch, le joint de Sierpinski doit être considéré comme ayant une dimension inférieure à 2, et le mesurer dans la mauvaise dimension donne une réponse sans signification.

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