Factoring higher-grado

traza los ceros reales del polinomio dado en la gráfica de abajo y nos dan P de X es igual a 2x a la quinta más X a la cuarta menos 2x menos uno cuando dicen trazado nos dan este pequeño widget aquí donde si hacemos clic en cualquier punto de esto obtenemos nuestro punto y tenemos tantos puntos como nos gustaría y podemos arrastrar estos puntos alrededor de o si ya no queremos estos puntos podemos tirarlos en esta pequeña papelera en la parte inferior derecha, así que vamos a pensar en lo que los ceros de este polinomio son en realidad para hacer que voy a tomar mi bloc de notas y esto es un poco desalentador al principio este es un quinto grado este es un polinomio de quinto grado aquí la factorización de polinomios de quinto grado es realmente algo de un arte arte que realmente va a tener que sentarse y buscar los patrones si en realidad están esperando a encontrar los ceros aquí sin la ayuda de un ordenador sin la ayuda de una calculadora, entonces debe haber algún tipo de patrón que se puede recoger aquí así que permítanme volver a escribir P de X por lo que P de X es igual a 2x a la quinta más X a la cuarta menos 2x menos uno y una forma que es cuando tratas de factorizar este tipo de polinomio es tratar de deshacer la propiedad distributiva un par de veces y si quieres relacionarlo con las técnicas de factorización de cuadráticos es esencialmente factorizar por agrupación, por ejemplo, ves un 2x, ves un 2x menos 1 o algo que se parece a un 2x menos 1 aquí y aquí tienes un 2x a la quinta más X a la cuarta. quinto más X al cuarto así que tienes un 2x de un término de grado mayor más un 1 X de un grado menor así que parece haber algún tipo de patrón 2 veces X de un grado mayor este es el término de primer grado menos 1 veces podrías ver esto como X al 0 de un término de grado menor y así pensemos un poco que pasa si esencialmente tratamos de agrupar estos dos términos y agrupamos estos dos términos aquí y tratamos de factorizar cualquier cosa para esencialmente limpiarlo un poco para ver si podemos darle sentido bien estos dos términos el mayor factor común es X al 4 podríamos escribir esto como X al cuarto veces 2x más 1 y esto debería emocionarnos porque esto se ve muy cerca de eso especialmente si fuéramos a factorizar un negativo 1 aquí así que podríamos factorizar un 1 negativo y entonces esto va a ser 2x más 1 y es emocionante porque ahora podemos factorizar un 2x más 1 de cada uno de estos cada uno de estos términos así que tienes un 2x más 1 vamos a factorizar ambos vamos a factorizar ambos para obtener 2x más 1 que acabamos de factorizar y si lo factorizas de este término justo sobre este término de aquí te quedas con X a la cuarta y factorizas este término te quedas sólo con el menos 1 menos 1 y ahora esto es emocionante porque esto es mucho a X más 1 esto es bastante fácil de averiguar cuando esta cosa es igual a 0 y vamos a hacer eso en un poco y esto es bastante fácil de factorizar esto es una diferencia de cuadrados esto aquí puede ser re-puede ser reescrito como puede ser reescrito como x al cuadrado más 1 veces x al cuadrado menos veces x al cuadrado menos 1 y por supuesto todavía tenemos este 2x más 1 al frente 2x más 1 y una vez más tenemos otra diferencia de cuadrados tenemos otra diferencia de cuadrados justo aquí que es lo mismo que X más 1 veces X menos 1 y déjame escribir todas las otras partes de esta expresión x al cuadrado más 1 y tienes 2x más 1 2x más 1 y creo que he factorizado P de X tanto como podría esperarse razonablemente, así que P de X es igual a todo este asunto aquí, recuerda que la razón por la que quería factorizarlo es que quería averiguar cuándo desisting es igual a 0, así que si P de X se puede expresar como el producto de un montón de estas expresiones va a ser 0 siempre que al menos al menos una de estas expresiones es igual a 0 si cualquiera de estas es igual a 0 entonces eso va a hacer que toda esta expresión sea igual a 0 así que cuando 2x más 1 es igual a 0 así que 2x más 1 es igual a cero bien podrías hacer esto en tu cabeza lo que hacemos lo podemos hacer sistemáticamente así resta uno de ambos lados obtienes dos x es igual a uno negativo divide ambos lados por 2 obtienes que X es igual a 1/2 negativo así que cuando x es igual a 1/2 negativo o una forma de pensar en P de 1/2 negativo es 0 así que P de 1/2 negativo es 0 así que esto de aquí es un punto en la gráfica y es uno de los ceros reales ahora podríamos tratar de resolver esto x al cuadrado más 1 es igual a 0 solo lo escribiré para mostrarte si tratamos de aislar el término X a la izquierda resta 1 de ambos lados se obtiene x al cuadrado es igual a 1 negativo ahora si fuéramos a ir si empezamos a pensar en los números imaginarios podríamos pensar en lo que X podría ser, pero quieren que encontremos los ceros reales los ceros reales por lo que no hay ningún número real en el que el número al cuadrado es igual a 1 negativo por lo que no vamos a obtener ningún cero mediante el establecimiento de este cero real mediante el establecimiento de este cosa igual a 0 en el for real para no hay ningún número real x donde x al cuadrado más 1 va a ser igual a 0 ahora vamos a pensar en cuando X más 1 podría ser igual a 0 vamos a restar 1 de ambos lados se obtiene X es igual a 1 negativo por lo que P de 1 negativo va a ser 0 por lo que es otro de nuestros ceros allí y luego, finalmente, tenemos vamos a pensar en cuando X menos 1 es igual a 0, así que sumemos 1 a ambos lados, X es igual a 1, así que tenemos otro 0, tenemos otro 0 real por ahí, y podemos graficarlos, así que es 1 negativo, 1/2 y 1, así que es 1 negativo, 1/2 y 1, y podemos verificar nuestra respuesta, y la tenemos ahora mismo, una cosa que podría estar diciendo, ya sabes, que te molesta, es como, ya sabes, Sal, sólo tienes que agrupar esto de la manera correcta. esto exactamente de la manera correcta, ¿qué pasa si trato de agrupar de una manera diferente, qué pasa si trato de hacerlo y en realidad vamos a tratar de hacer que podría ser interesante sólo para mostrar que esto no es vudú y en realidad hay varias maneras de llegar allí, hay varias maneras de llegar allí, así que lo que si en lugar de escribirlo así, estamos escribiendo en el término más alto…grado más alto y luego el siguiente grado más alto y así sucesivamente lo escribes así P de X es igual a 2 X a la quinta menos 2x más X a la cuarta menos 1 bueno en realidad incluso de esta manera se podría hacer una agrupación bastante interesante si se agrupan estos dos juntos se ve que tienen el factor común 2x se factoriza 2x fuera se obtiene 2x veces X a la cuarta menos 1 y creo que se ve lo que está pasando y luego esto puede ser re-escribirlo como más 1 veces X a la 4ª mi X a la 4ª menos 1 menos 1 y ahora podrías factorizar una X a la 4ª menos 1 y te queda sólo en un color neutro X a la 4ª menos 1 veces 2x más 1 que es mucho más fácil de factorizar ahora diferencia de cuadrados exactamente lo que hicimos la última vez así que hay varias maneras que podrías haber agrupado razonablemente esto y razonablemente deshacer la propiedad distributiva pero admito que es una especie de arte que realmente sólo tiene que jugar y ver vamos a grupo de los dos primeros términos vamos a ver si hay un factor común aquí vamos a grupo de los dos segundos términos ver si hay un factor común aquí hey una vez que el factor de los factores comunes parece que estos dos términos tienen esta expresión común como un factor y, a continuación, puede empezar a factorizar que out