Was sind Fraktale und warum sollte mich das interessieren?

Die fraktale Geometrie ist ein Gebiet der Mathematik, das in den 1970er Jahren entstand und hauptsächlich von Benoit Mandelbrot entwickelt wurde. Wenn Sie bereits von Fraktalen gehört haben, haben Sie wahrscheinlich das folgende Bild gesehen. Es heißt Mandelbrot-Menge und ist ein Beispiel für eine fraktale Form.

In der Geometrie, die du in der Schule gelernt hast, ging es darum, wie man Formen herstellt; die fraktale Geometrie ist nicht anders. Während die Formen, die man in der klassischen Geometrie gelernt hat, „glatt“ waren, wie etwa ein Kreis oder ein Dreieck, sind die Formen, die aus der fraktalen Geometrie hervorgehen, „grob“ und unendlich komplex. Dennoch geht es in der fraktalen Geometrie immer noch um die Herstellung von Formen, das Messen von Formen und das Definieren von Formen, genau wie in der Schule.

Es gibt zwei Gründe, warum du dich für die fraktale Geometrie interessieren solltest:

1. Der Prozess, durch den in der fraktalen Geometrie Formen entstehen, ist verblüffend einfach und doch völlig anders als in der klassischen Geometrie. Während die klassische Geometrie Formeln verwendet, um eine Form zu definieren, verwendet die fraktale Geometrie Iterationen. Damit löst sie sich von Giganten wie Pythagoras, Platon und Euklid und geht in eine andere Richtung. Die klassische Geometrie ist seit über 2000 Jahren erforscht, die fraktale Geometrie erst seit 40 Jahren.

2. Die Formen, die die fraktale Geometrie hervorbringt, sehen der Natur ähnlich. Dies ist eine erstaunliche Tatsache, die schwer zu ignorieren ist. Wie wir alle wissen, gibt es in der Natur keine perfekten Kreise und keine perfekten Quadrate. Und nicht nur das: Wenn man Bäume, Berge oder Flusssysteme betrachtet, ähneln sie nicht den Formen, die man aus der Mathematik kennt. Mit einfachen, mehrfach wiederholten Formeln kann die fraktale Geometrie diese Naturphänomene jedoch mit erschreckender Genauigkeit modellieren. Wenn man mit einfachen mathematischen Mitteln die Welt nachbilden kann, ist man auf der richtigen Fährte. Mit der fraktalen Geometrie gelingt dies mit Leichtigkeit.

Dieser Blog-Beitrag soll einen kurzen Überblick darüber geben, wie fraktale Formen entstehen und wie diese Formen der Natur ähneln können. Anschließend wird auf die Dimensionalität eingegangen, die eine gute Möglichkeit ist, Fraktale zu messen. Abschließend wird erörtert, dass die fraktale Geometrie auch deshalb vorteilhaft ist, weil Zufälligkeit in die Struktur einer fraktalen Form eingebracht werden kann. Der Beitrag erfordert fast keine Mathematik und enthält viele schöne Bilder

Wie man eine fraktale Form herstellt

In der normalen Geometrie werden Formen durch eine Reihe von Regeln und Definitionen definiert. Zum Beispiel besteht ein Dreieck aus drei geraden Linien, die miteinander verbunden sind. Die Regeln besagen, dass ein Dreieck vollständig definiert ist, wenn man die Länge aller drei Seiten des Dreiecks kennt, und dass ein Dreieck auch definiert ist, wenn man die Länge einer Seite und zwei entsprechende Winkel kennt. Obwohl die Regeln, die ein Dreieck definieren, einfach sind, haben sich daraus riesige Mengen nützlicher Mathematik ergeben, zum Beispiel Pythagoras‘ Theorum, sin() cos() und tan(), der Beweis, dass der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten eine Gerade ist, usw.

Die fraktale Geometrie definiert Formen ebenfalls durch Regeln, aber diese Regeln unterscheiden sich von denen der klassischen Geometrie. In der fraktalen Geometrie wird eine Form in zwei Schritten hergestellt: zuerst wird eine Regel aufgestellt, wie eine bestimmte (meist klassisch geometrische) Form zu verändern ist. Diese Regel wird dann immer und immer wieder auf die Form angewandt, bis ins Unendliche. Wenn man in der Mathematik etwas verändert, nennt man das gewöhnlich eine Funktion. Eine Funktion wird also rekursiv auf eine Form angewandt, wie im folgenden Diagramm zu sehen ist.

Nachdem sich dies unendlich oft wiederholt hat, entsteht die fraktale Form. Was sind denn diese Funktionen? Was meinst du mit unendlich oft wiederholen? Wie immer lässt sich das am besten anhand eines Beispiels erklären…

Eine gute fraktale Form ist die sogenannte von-Koch-Kurve. Die Regeln, oder die Funktion, sind extrem einfach. Zuerst beginnt man mit einer geraden Linie. Dies ist deine „Ausgangsform“:

Die Regeln sind wie folgt:

1. Teile jede Gerade in drei gleiche Segmente auf.

2. Ersetze das mittlere Segment durch ein gleichseitiges Dreieck und entferne die Seite des Dreiecks, die der anfänglichen Geraden entspricht.

Der Vorgang ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Das passiert mit der Geraden, unserer anfänglichen Form, wenn sie die Funktion das erste Mal durchläuft, die erste Iteration. Nun wird die erzeugte Form für eine zweite Iteration wieder in die Funktion eingespeist:

Erinnern Sie sich daran, dass die Regel lautete, dass jede gerade Linie in drei Teile geteilt wird, also werden jetzt vier Linien aufgeteilt und in Dreiecke verwandelt. Die Form, die sich nach der zweiten Iteration ergibt, wird dann ein drittes Mal durch die Funktion geführt. Es ist schwierig, dies in MS Paint zu zeichnen, daher habe ich für die nächsten Schritte ein paar Bilder von dieser Website verwendet:

Nachdem dies unendlich oft wiederholt wurde, ist die fraktale Form definiert. Das mag verwirrend klingen, aber es ist dennoch möglich, es mathematisch zu analysieren, und man kann visuell sehen, wie die Form beginnt auszusehen. Das folgende Bild (aus Wikipedia) zeigt gut, wie die Kurve aussieht, wenn man sie vergrößert:

Die von-Koch-Kurve ist ein großartiges Beispiel für ein Fraktal: Die Regel, die man anwendet, ist einfach, aber sie führt zu einer so komplexen Form. Diese Art von Form ist mit herkömmlicher Mathematik unmöglich zu definieren, aber mit fraktaler Geometrie so einfach zu definieren.

Wen interessiert also die von-Koch-Kurve? Ist sie nicht nur eine Zeitverschwendung der Mathematiker für seltsame Formen? Das hängt wohl davon ab, wie man sie betrachtet, aber ich bin überzeugt, dass sie nützlich ist, weil sie genau wie eine Schneeflocke aussieht. Das wird noch deutlicher, wenn man mit einem Dreieck und nicht mit einer geraden Linie beginnt:

Über den Zweck der Mathematik lässt sich trefflich streiten, aber als Ingenieur bin ich geneigt zu sagen, dass einer ihrer Zwecke darin besteht, zu versuchen, die Welt um uns herum nachzubilden. Die Formen, die sich aus der fraktalen Mathematik ergeben, unterscheiden sich so sehr von herkömmlichen mathematischen Formen und sind der Welt um uns herum so ähnlich, dass ich nicht anders kann, als mich von diesem Thema verführen zu lassen. Zwei andere Formen, die ich sehr mag, sind der Barnsley-Farn:

und fraktale Bäume:

Das sind keine Zeichnungen oder Bilder, sondern mathematische Formen. Wenn man sich die Formen ansieht, kann man erkennen, welche Funktion sich wiederholt. Beim Barsley-Fern zum Beispiel besteht die Funktion darin, aus jeder geraden Linie etwa 30 senkrechte Linien zu ziehen. Die Funktion wiederholt sich und sieht aus wie ein Farn. Am Baum kann man sehen, dass jede Linie sich zweimal verzweigt, was die Funktion ist, die sich wiederholt. Eine weitere Eigenschaft dieser Formen (die allerdings nicht für alle Fraktale gilt) ist, dass sie selbstähnlich sind. Das bedeutet, dass die Form sich selbst ähnelt, unabhängig davon, wie stark man hinein- oder herauszoomt. Wenn man zum Beispiel von dem oben abgebildeten Baum einen Zweig abreißt und ihn aufrichtet, sieht er aus wie der ursprüngliche Baum. Nimmt man einen Zweig vom Ast und stellt ihn auf, sieht er immer noch wie der ursprüngliche Baum aus. Auch dies ist eine Eigenschaft, die in der Natur vorkommt, aber bis zur fraktalen Geometrie gab es keine gute Möglichkeit, sie in die Mathematik zu übertragen.

Diese Formen sehen nicht nur wie natürliche Objekte aus, sondern der Prozess der Iteration klingt intuitiv, wenn man an die Natur denkt. Wenn ein Baum wächst, erzeugt sein Stamm Äste, diese Äste erzeugen weitere Äste, diese Äste erzeugen Zweige. Es ist, als ob die Funktion ein genetischer Code ist, der dem Zweig sagt, wie er wachsen und sich wiederholen soll, um schließlich Formen zu schaffen, die „natürlich“ sind. Das mag wie Pseudowissenschaft klingen (ist es auch), aber ich denke, das sind Konzepte, die es wert sind, in Betracht gezogen zu werden, wenn man in der Lage ist, die Natur so genau zu imitieren.

Genug von der Natur, Zeit, darüber zu sprechen, wie Fraktale verrückte Dimensionen haben.

Dimensionen

So, jetzt wissen wir, was fraktale Formen sind und wie man sie herstellt, wir würden gerne ein paar Dinge über sie wissen. Eines der ersten Dinge, die wir herauszufinden versuchen, ist die Länge einiger dieser Formen. Kehren wir zur von-Koch-Kurve zurück.

Um herauszufinden, wie lang die vollständige von-Koch-Kurve ist (nachdem sie unendlich oft iteriert wurde), ist es nützlich, sich noch einmal zu vergegenwärtigen, was in der ersten Phase passiert:

Die Linie wird in drei Teile geteilt, dann wird der mittlere Teil durch zwei Linien ersetzt, die genauso lang sind wie sie (da es sich um ein gleiches Dreieck handelt). Wenn also die ursprüngliche gerade Linie eine Länge von 1 hatte, ist die Länge der Kurve nach der ersten Iteration 4/3. Es stellt sich heraus, dass die Form bei jeder Iteration um 4/3 länger wird. Die Länge der Kurve nach der zweiten Iteration ist also 4/3 x 4/3 = 16/9:

Da 4/3 größer als 1 ist, wird die Linie bei jeder Iteration durch die Funktion länger. Wenn man die Funktion unendlich oft durchläuft, hat die gesamte von-Koch-Kurve einen Umfang, der unendlich lang ist! Das ist bei allen fraktalen Formen der Fall: Sie haben unendlich lange Umfänge. Das ist für Mathematiker nicht nützlich, also messen sie den Umfang der Form nicht. Die nächsten Absätze erfordern ein wenig abstraktes Denken, aber wenn man ein wenig über den Tellerrand hinausschaut, ergibt es durchaus Sinn.

Der Umfang misst die Länge um etwas herum. Die Länge ist ein eindimensionales Maß für den Raum. Die Länge ist 1D, weil sie nur eine gerade Linie misst. Ein 2D-Maß für den Raum ist die Fläche, ein 3D-Maß ist das Volumen. Wir haben nun gezeigt, dass es nicht sinnvoll ist, fraktale Muster in einer Dimension zu messen, da sie unendlich lang sind. Merkwürdig ist jedoch, dass fraktale Formen nicht 1D, 2D oder 3D sind. Jede fraktale Form hat ihre eigene, einzigartige Dimension, die in der Regel eine Zahl mit einer Dezimalstelle ist.

Die Dimension einer fraktalen Form ist ein Maß dafür, wie schnell die Form kompliziert wird, wenn man sie iteriert. Was meinen wir mit kompliziert werden? Nun, in der von-Koch-Kurve kann man sehen, dass die ersten paar Iterationen recht einfache Formen hervorbringen, aber etwa bei Iteration 4 beginnen sie, recht klein und komplex zu werden.

Die Art, zu messen, wie schnell eine Form kompliziert wird, und damit ihre Dimension, ist zu messen, wie viel länger der Umfang nach jeder Iteration wird. Das macht intuitiv Sinn, denn wenn die Linie nach jeder Iteration viel länger wird, wird sie wahrscheinlich sehr schnell sehr kompliziert, während sie, wenn die Linie nach jeder Iteration ziemlich gleich lang bleibt, wahrscheinlich nicht sehr komplex wird.

Wie wir bereits gezeigt haben, wird die von-Koch-Kurve bei jeder Iteration um 4/3 länger. Das bedeutet, dass die von-Koch-Kurve 4/3 D oder 1,3333…D ist. Ziemlich verrückt, oder? Sie liegt irgendwo zwischen 1D und 2D. Aber dieses Maß ist für Mathematiker wirklich nützlich, da es Informationen über die Form liefert (während der Umfang keine Informationen liefert, er ist immer unendlich). Gäbe es zum Beispiel eine andere fraktale Form, die 1,93D wäre, könnte man mit Sicherheit sagen, dass diese Form schneller komplex wird als die von-Koch-Kurve, da der Umfang nach jeder Iteration 1,93 mal länger wird als 1,3333, was bedeutet, dass sie schneller komplex wird. Bei der Untersuchung einer fraktalen Form ist die Kenntnis ihrer Dimension von wesentlicher Bedeutung.

Zufälligkeit

Der letzte Punkt, über den ich sprechen werde, ist die Tatsache, dass Zufälligkeit in fraktale Formen eingefügt werden kann. Zufällige (oder scheinbar zufällige) Ereignisse treten in der Natur ständig auf und beeinflussen verschiedene Dinge auf unterschiedliche Weise. Ein großer Teil der Informationstechnik befasst sich beispielsweise mit dem Rauschen, das ein elektronisches Signal zufällig schwanken lässt. Wenn man versucht, dies zu reproduzieren, fügt man dem Signal in der Regel Zufälligkeiten hinzu. In der Elektronik würde man z. B. eine schöne Sinuswelle erzeugen und dann Rauschen hinzufügen (von dieser Website entlehnt):

Das untere Bild ist die „reine“ Welle, das obere Bild ist die Welle mit hinzugefügtem Rauschen. Dabei wird immer davon ausgegangen, dass es ein zugrunde liegendes „reines“ Signal gibt, das zufällig verändert wird. Das mag zwar für viele elektronische Geräte zutreffen, aber für die Natur gilt das nicht. Oft gibt es keine „reine“ Form, die an den Rändern zufällig verändert wird (in der Natur gibt es z. B. nicht viele unscharfe Quadrate), sondern der Zufall beeinflusst die Struktur der Form selbst in jeder Phase ihrer Entwicklung. Die klassische Geometrie ist nicht gut darin, Zufälligkeiten in Formen einzubauen, während die fraktale Geometrie dies problemlos kann. Zum letzten Mal wenden wir uns der von-Koch-Kurve zu. Diesmal werden wir jedoch Zufälligkeiten in sie einbauen.

Wir wissen, dass die Regel lautet, dass bei jeder Iteration ein Dreieck im mittleren Drittel einer Linie entsteht. Allerdings zeigen die Dreiecke jedes Mal nach außen“. Wir könnten den Zufall einfügen, indem wir sagen, dass jedes Dreieck, das erzeugt wird, entweder oberhalb oder unterhalb der Linie liegt, abhängig von einem Münzwurf:

Jetzt wird sich die Form zufällig entwickeln, je nach Münzwurf. Nach mehreren Iterationen kann die von-Koch-Kurve zum Beispiel so aussehen:

Oder sie kann ganz anders aussehen. Das Tolle daran ist, dass man die Zufälligkeit in die Form selbst einfügen kann, anstatt sie auf eine bestehende Form aufzusetzen. Das hat ein aufregendes Potenzial, zum Beispiel (um auf die Natur zurückzukommen) könnte dies ein guter Weg sein, um zufällige genetische Mutationen zu modellieren.