Fraktale

Fangen wir mit der Eigenschaft der Fraktale an, die wir im Romanesco-Blumenkohl beobachtet haben.

Eigenschaft: Selbstähnlichkeit ist die Eigenschaft, dass das Hineinzoomen in ein Objekt ein sich unendlich wiederholendes Muster erzeugt.

Ein weiteres Beispiel für Selbstähnlichkeit in der Natur sind die sich wiederholenden Muster von kristallisierendem Wasser und Schneeflocken.

„Frost patterns 2“ von Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Wie können wir diese selbstähnlichen Muster beschreiben und wie können wir selbstähnliche Formen mathematisch erzeugen, die bei jeder Vergrößerung reproduzierbar sind? Wir haben fraktale Muster in Schneeflocken gesehen. Beginnen wir also damit, ein selbstähnliches Muster zu erzeugen, das einer Schneeflocke ähnelt.

Koch-Schneeflocke

Beginnen Sie mit einem gleichseitigen Dreieck, indem Sie das mittlere Drittel jeder Seite als Basis verwenden, und entfernen Sie dann die Basis des Dreiecks. Wiederholen Sie diesen Vorgang nun für jedes Liniensegment in der resultierenden Figur. Hier sind die ersten Iterationen:

Wenn man diesen Prozess fortsetzt, erhält man die Schneeflocke von Koch im Grenzbereich. Hier ist eine Nahaufnahme des Randes nach mehreren Iterationen:

Da das Heranzoomen in die Koch-Schneeflocke eine Kurve ergibt, die eine Kopie ihrer selbst in einem kleineren Maßstab ist (die sogenannte Koch-Kurve), zeigt die Koch-Schneeflocke Selbstähnlichkeit.

Wenn das gleichseitige Dreieck, mit dem wir beginnen, die Seitenlänge 1 hat, dann bemerken wir, dass wir, indem wir jedes Liniensegment durch 444 Segmente von einem Drittel der Länge ersetzen, die Länge mit 43 \frac{4}{3} multiplizieren 34 bei jedem Schritt. Dies zeigt, dass nach nnn Schritten die Länge des Umfangs 3⋅(43)n 3 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^n3⋅(34)n ist, so dass der Koch-Stern einen unendlichen Umfang hat, wenn er als eindimensionale Kurve gemessen wird.

Wie wir jedoch später sehen werden, ergibt sich dies daraus, dass die Schneeflocke von Koch mehr als eine Dimension hat und der Versuch, eine Form in der falschen Dimension zu messen, eine sinnlose Antwort ergibt. Dies ist vergleichbar mit dem Versuch, die Menge eines sehr dünnen Fadens zu messen, die benötigt wird, um ein 2-dimensionales Quadrat zu bedecken. Wir bräuchten einen unendlich langen Faden, da wir versuchen, ein 2-dimensionales Objekt mit einer eindimensionalen Kurve zu messen.

Die Schneeflocke von Koch zeigt, dass Fraktale, obwohl sie komplex sind, durch wiederholte Anwendung einfacher Regeln erzeugt werden können. Wir können uns das Ausgangsdreieck der Koch-Schneeflocke als Initiator vorstellen und den Schritt, jede Linie durch eine Spitze zu ersetzen, als den Generator. Wenn wir stattdessen mit einem Liniensegment als Initiator beginnen und den folgenden Generator verwenden, erhalten wir ein anderes Muster.

Diese Beispiele zeigen die folgenden Eigenschaften von Fraktalen.

Fraktale haben Details in beliebig kleinen Maßstäben und weisen Unregelmäßigkeiten auf, die mit der traditionellen geometrischen Sprache nicht beschrieben werden können.

Mit anderen Worten, Fraktale sind Objekte, die bei jeder Vergrößerung niemals „glatt“ wie der euklidische Raum aussehen werden.

Sierpinski-Dichtung

Die Sierpinski-Dichtung ist ein Dreieck, das aus kleineren Kopien seiner selbst besteht. Man beginnt mit einem ausgefüllten Dreieck, verbindet die Mittelpunkte der Seiten, entfernt das mittlere Dreieck und iteriert über die verbleibenden drei ausgefüllten Dreiecke.

Wie groß ist die Fläche der Sierpinski-Dichtung (der schwarz gefärbte Raum) im nnn-ten Schritt, wenn wir mit einem Dreieck der Seitenlänge 111 beginnen? Beachten Sie, dass die Anzahl der schwarzen Dreiecke im nnn-ten Schritt 3n3^n3n ist und die Seitenlänge eines Dreiecks im nnn-ten Schritt (12)n\links( \frac{1}{2} \rechts)^n(21)n ist. Dann ist die Fläche des schwarzen Raums im nnnten Schritt 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n mal die Fläche des ursprünglichen Dreiecks, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Dies geht gegen 0, wenn nnn ins Unendliche geht. Wie bei der Koch’schen Schneeflocke sollte man auch bei der Sierpinski-Dichtung davon ausgehen, dass sie eine Dimension kleiner als 2 hat, und wenn man sie in der falschen Dimension misst, erhält man eine sinnlose Antwort.