Faktorisierung von Polynomen höherenPolynome höheren Grades

Geben Sie die reellen Nullstellen des gegebenen Polynoms in das unten stehende Diagramm ein, und Sie geben uns P von X ist gleich 2x bis zum Fünften plus X bis zum Vierten minus 2x minus eins, wenn Sie sagen, dass es gezeichnet ist, geben Sie uns dieses kleine Widget hier, wo wir, wenn wir auf irgendeinen Punkt darauf klicken, unseren Punkt bekommen, und wir bekommen so viele Punkte, wie wir möchten, und wir können diese Punkte herumziehen oder wenn wir diese Punkte nicht mehr wollen, können wir sie einfach in diesen kleinen Mülleimer unten rechts werfen, also lasst uns darüber nachdenken, was die Nullstellen dieses Polynoms sind, um das zu tun, werde ich meinen Notizblock herausnehmen und das ist zunächst ein wenig entmutigend, das ist ein Polynom fünften Grades, das ist ein Polynom fünften Grades, hier, das Ausrechnen von Polynomen fünften Grades ist wirklich eine Art Kunst, man muss sich wirklich hinsetzen und nach Mustern suchen, wenn man tatsächlich erwartet, dass man die Nullen hier ohne die Hilfe eines Computers und ohne die Hilfe eines Taschenrechners findet, dann muss es irgendeine Art von Muster geben, das man hier herausfinden kann, also lassen Sie mich einfach P von X umschreiben, also ist P von X gleich 2x zur Fünften plus X zur Vierten minus 2x minus eins und ein Weg, den man Wenn man versucht, diese Art von Polynom zu faktorisieren, versucht man typischerweise, die Distributiv-Eigenschaft ein paar Mal rückgängig zu machen, und wenn man es mit Techniken zum Faktorisieren von Quadraten in Verbindung bringen will, ist es im Wesentlichen Faktorisieren durch Gruppieren, so dass man zum Beispiel ein 2x sieht, man sieht ein 2x minus 1 oder etwas, das wie ein 2x minus 1 aussieht, gleich hier drüben und hier drüben hat man ein 2x zur Fünftel plus X zum Vierten, also haben Sie ein 2x eines Terms höheren Grades plus ein 1 X eines Terms niedrigeren Grades, also scheint es eine Art von Muster zu sein, 2 mal X eines höheren Grades, das ist der Term ersten Grades minus 1 mal, Sie könnten das als X zur 0 eines Terms niedrigeren Grades betrachten und lassen Sie uns ein wenig darüber nachdenken, was passiert, wenn wir im Wesentlichen versuchen, diese beiden Terme zu gruppieren und Wir gruppieren diese beiden Terme hier drüben und versuchen, irgendetwas herauszufaktorisieren, um es im Wesentlichen ein wenig zu bereinigen, um zu sehen, ob wir einen Sinn darin sehen können. Nun, diese beiden Terme haben den größten gemeinsamen Faktor X bis 4. Wir könnten dies als X bis 4 mal 2x plus 1 schreiben, und das sollte uns aufregen, denn das sieht ziemlich ähnlich aus, besonders wenn wir eine negative 1 hier, also könnten wir eine negative 1 herausrechnen und dann wird dies 2x plus 1 sein und das ist aufregend, denn jetzt können wir 2x plus 1 aus jedem dieser Terme herausrechnen, also haben wir 2x plus 1, wir werden beide faktorisieren, wir werden beide herausrechnen, um 2x plus 1 zu erhalten, was wir gerade herausgerechnet haben und wenn man es aus diesem Term herausgerechnet hat, genau über Wenn man diesen Term hier ausklammert, bleibt X bis zur vierten Stelle übrig, und wenn man diesen Term ausklammert, bleibt nur noch minus 1 minus 1 übrig, und das ist aufregend, denn das ist viel zu X plus 1, das ist ziemlich einfach herauszufinden, wann dieses Ding gleich 0 ist, und das werden wir gleich tun, und das ist ziemlich einfach zu faktorisieren, das ist eine Differenz von Quadraten, das hier drüben kann re-kann geschrieben werden als kann geschrieben werden alsgeschrieben werden als x quadriert plus 1 mal x quadriert minus mal x quadriert minus 1 und natürlich haben wir immer noch dieses 2x plus 1 vorne 2x plus 1 und wieder haben wir eine andere Differenz von Quadraten wir haben eine andere Differenz von Quadraten hier drüben, die dasselbe ist wie X plus 1 mal X minus 1 und lassen Sie mich einfach alle anderen Teile dieses Ausdrucks schreiben x quadriert plus 1 und Sie haben 2x plus 1 2x plus 1 und ich denke, ich habe P von X so weit faktorisiert, wie es vernünftigerweise zu erwarten war, also ist P von X gleich all dem hier. Erinnern Sie sich an den Grund, warum ich es faktorisieren wollte, ich wollte herausfinden, wann Desisting gleich 0 ist. Wenn also P von X als das Produkt einer Reihe dieser Ausdrücke ausgedrückt werden kann, wird es 0 sein, wenn mindestens mindestens einer dieser Ausdrücke gleich 0 ist, wenn einer davon gleich 0 ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich 0. Wann ist also 2x plus 1 gleich 0, also ist 2x plus 1 gleich Null. Nun, du könntest das wahrscheinlich in deinem Kopf machen. Durch 2 dividieren und man erhält X ist gleich negativ 1/2. Wenn also x gleich negativ 1/2 ist, oder wenn man sich vorstellt, dass P von negativ 1/2 gleich 0 ist, dann ist P von negativ 1/2 gleich 0. Das hier drüben ist also ein Punkt auf dem Graphen und es ist eine der realen Nullen. 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir, dass x quadriert gleich negativ 1 ist. Wenn wir nun anfangen würden, über imaginäre Zahlen nachzudenken, könnten wir darüber nachdenken, was X sein könnte, aber sie wollen, dass wir die realen Nullen finden, die realen Nullen, also gibt es keine reale Zahl, bei der diese Zahl quadriert gleich negativ 1 ist. Es gibt also keine reelle Zahl x, bei der das Quadrat von x plus 1 gleich 0 ist. Überlegen wir nun, wann X plus 1 gleich 0 sein könnte. Wir subtrahieren 1 von beiden Seiten und erhalten X ist gleich negativ 1. P von negativ 1 ist also 0. Also addieren wir 1 zu beiden Seiten, X ist gleich 1, also haben wir eine weitere 0, wir haben eine weitere reelle 0 dort drüben, und wir können sie aufzeichnen, also ist es negativ 1, negativ 1/2 und 1, also ist es negativ 1, negativ 1/2 und 1, und wir können unsere Antwort überprüfen, und wir haben es jetzt, eine Sache, die dich vielleicht stört, ist: Hey, weißt du, Sal, du hast das zufällig richtig gruppiert. Das könnte interessant sein, nur um dir zu zeigen, dass das kein Voodoo ist und dass es tatsächlich mehrere Wege gibt, um dorthin zu gelangen. Es gibt mehrere Wege, um dorthin zu gelangen.Grades, dann des nächsthöheren Grades und so weiter und so fort zu schreiben, könnte man es so schreiben: P von X ist gleich 2 X zum fünften minus 2x plus X zum vierten minus 1. Nun, sogar auf diese Weise könnte man eine ziemlich interessante Gruppierung vornehmen, wenn man diese beiden zusammen gruppiert, sieht man, dass sie den gemeinsamen Faktor 2x haben, wenn man 2x herausfakturiert, erhält man 2x mal X zum vierten minus 1, und ich denke, man sieht, was hier vor sich geht, und dann kann man das wiederMal X zum 4. minus 1 minus 1 geschrieben werden, und jetzt könnte man ein X zum 4. minus 1 ausklammern, und es bleibt nur noch X zum 4. minus 1 mal 2x plus 1 übrig, was viel einfacher zu faktorisieren ist, da die Differenz der Quadrate genau das ist, was wir beim letzten Mal gemacht haben. Ich gebe aber zu, dass es eine Kunst ist, man muss einfach ein bisschen herumspielen und schauen, ob die ersten beiden Terme gruppiert sind, ob es hier einen gemeinsamen Faktor gibt, die zweiten beiden Terme gruppieren und schauen, ob es hier einen gemeinsamen Faktor gibt Hey, wenn wir diese gemeinsamen Faktoren herausrechnen, sieht es so aus, als ob diese beiden Terme diesen gemeinsamen Ausdruck als Faktor haben und dann kann man anfangen, das herauszufaktorisieren