Vi ved, hvordan man finder kvadratroden af et hvilket som helst positivt reelt tal. På en lignende måde kan vi finde kvadratroden af et negativt tal. Forskellen er, at roden ikke er reel. Hvis værdien i radikanden er negativ, siger man, at roden er et imaginært tal. Det imaginære tal i er defineret som kvadratroden af negativ 1.
Så ved hjælp af egenskaberne for radikaler,
Vi kan skrive kvadratroden af et hvilket som helst negativt tal som et multiplum af i. Betragt kvadratroden af -25.
Vi bruger 5i og ikke -\text{5}i\\\ fordi den vigtigste rod af 25 er den positive rod.
Figur 1
Et komplekst tal er summen af et reelt tal og et imaginært tal. Et komplekst tal udtrykkes i standardform, når det skrives a + bi, hvor a er den reelle del og bi er den imaginære del. F.eks. er 5+2i\\\ et komplekst tal. Det samme er 3+4\sqrt{3}i\\\.
Imaginære tal adskiller sig fra reelle tal, fordi et kvadreret imaginært tal giver et negativt reelt tal. Husk på, at når et positivt reelt tal kvadreres, er resultatet et positivt reelt tal, og når et negativt reelt tal kvadreres, er resultatet igen et positivt reelt tal. Komplekse tal er en kombination af reelle og imaginære tal.
En generel note: Imaginære og komplekse tal
Et komplekst tal er et tal af formen a+bi\\\ hvor
- a er den reelle del af det komplekse tal.
- bi er den imaginære del af det komplekse tal.
Hvis b=0\\\, så er a+bi\\\ et reelt tal. Hvis a=0\\\\ og b ikke er lig med 0, kaldes det komplekse tal for et imaginært tal. Et imaginært tal er en lige rod af et negativt tal.
Sådan gør du: Giv et imaginært tal og udtrykke det i standardform.
- Skriv \sqrt{-a}\\\ som \sqrt{a}\sqrt{-1}\\\.
- Udtryk \sqrt{-1}\\ som i.
- Skriv \sqrt{a}\cdot i\\\ i den enkleste form.
Eksempel 1: Udtryk af et imaginært tal i standardform
Udskriv \sqrt{-9}\\ i standardform.
Løsning
\sqrt{-9}=\sqrt{-9}\sqrt{-9}\sqrt{-1}=3i\\\\
I standardform er det 0+3i\\\.
Vend det 1
Udtryk \sqrt{-24}\\ i standardform.
Løsning