Hvad er fraktaler, og hvorfor er det vigtigt for mig?

Fraktalgeometri er et matematisk område, der blev født i 1970’erne og primært udviklet af Benoit Mandelbrot. Hvis du allerede har hørt om fraktaler, har du sikkert også set billedet nedenfor. Det kaldes Mandelbrot-sættet og er et eksempel på en fraktalform.

Den geometri, som du lærte i skolen, handlede om at lave former; fraktalgeometri er ikke anderledes. Mens de former, du lærte i klassisk geometri, var “glatte”, som f.eks. en cirkel eller en trekant, er de former, der kommer ud af fraktalgeometri, “grove” og uendeligt komplekse. Fraktal geometri handler dog stadig om at lave former, måle former og definere former, ligesom i skolen.

Der er to grunde til, at du bør interessere dig for fraktal geometri:

1. Den proces, hvormed formerne laves i fraktalgeometri, er forbløffende enkel, men alligevel helt anderledes end i klassisk geometri. Mens den klassiske geometri bruger formler til at definere en form, bruger fraktalgeometri iteration. Den bryder derfor med giganter som Pythagoras, Platon og Euklid og går i en anden retning. Den klassiske geometri har været genstand for mere end 2000 års granskning, mens den fraktale geometri kun har været genstand for 40 år.

2. De former, der kommer ud af den fraktale geometri, ligner naturen. Det er et fantastisk faktum, som er svært at ignorere. Som vi alle ved, findes der ingen perfekte cirkler i naturen og ingen perfekte firkanter. Ikke nok med det, men når man ser på træer eller bjerge eller flodsystemer, ligner de ikke nogen former, man er vant til inden for matematikken. Men med enkle formler, der gentages flere gange, kan fraktalgeometrien modellere disse naturfænomener med foruroligende nøjagtighed. Hvis man kan bruge simpel matematik til at få ting til at ligne verden, så ved man, at man har fat i en vinder. Fraktalgeometri gør dette med lethed.

Dette blogindlæg skal give et hurtigt overblik over, hvordan man laver fraktalformer og vise, hvordan disse former kan ligne naturen. Derefter vil det gå videre til at tale om dimensionalitet, som er en fed måde at måle fraktaler på. Det slutter med at diskutere, hvordan fraktal geometri også er gavnlig, fordi tilfældighed kan indføres i strukturen af en fraktal form. Indlægget kræver næsten ingen matematik og indeholder en masse smukke billeder

Hvordan man laver en fraktal form

I normal geometri er former defineret af et sæt regler og definitioner. F.eks. består en trekant af tre lige linjer, der er forbundet. Reglerne er, at hvis man har længden af alle tre sider af trekanten, er den fuldstændig defineret, og hvis man har længden af en side og to tilsvarende vinkler, er trekanten også defineret. Selv om de regler, der definerer en trekant, er enkle, er der kommet enorme mængder nyttig matematik ud af det, f.eks. Pythagoras’ Theorum, sin() cos() og tan(), beviset for, at den korteste afstand mellem to punkter er en ret linje osv.

Fraktalgeometri definerer også former ved hjælp af regler, men disse regler er anderledes end dem i klassisk geometri. I fraktalgeometri laves en form i to trin: først ved at lave en regel om, hvordan man ændrer en bestemt (normalt klassisk geometrisk) form. Denne regel anvendes derefter på formen igen og igen, indtil uendelighed. Når man i matematik ændrer noget, kaldes det normalt en funktion, så det, der sker, er, at en funktion anvendes på en form rekursivt, som i diagrammet nedenfor.

Når det har gentaget sig uendeligt mange gange, er den fraktale form frembragt. Hvad er disse funktioner så? Hvad mener du med at gentage sig uendeligt mange gange? Som altid forklares dette bedst ved hjælp af et eksempel …

En god fraktalform kaldes von Koch-kurven. Reglerne, eller funktionen, er ekstremt enkle. Først starter man med en lige linje. Dette er din “indledende form”:

Reglerne er som følger:

1. Opdel hver lige linje i 3 lige store segmenter.

2. Erstat det midterste segment med en ligesidet trekant, og fjern den side af trekanten, der svarer til den oprindelige lige linje.

Processen er vist i nedenstående figur:

Det er det, der sker med den lige linje, vores oprindelige form, når den går gennem funktionen første gang, den første iteration. Nu føres den form, den har frembragt, tilbage til funktionen igen for en anden iteration:

Husk, at reglen var, at enhver lige linje ville blive delt i tredjedele, så nu bliver 4 linjer delt op og lavet til trekanter. Den form, der fremkommer efter anden iteration, føres derefter gennem funktionen for tredje gang. Dette bliver svært at tegne i MS paint, så jeg har brugt et par billeder fra denne hjemmeside til de næste trin:

Når dette er itereret et uendeligt antal gange, er den fraktale form defineret. Dette lyder måske forvirrende, men det er stadig muligt at analysere det matematisk, og visuelt kan man se, hvordan formen begynder at se ud. Gif’en nedenfor (fra Wikipedia) er en god illustration af, hvordan kurven ser ud ved at zoome ind på den:

Von Koch-kurven er et godt eksempel på en fraktal: Den regel, man anvender, er enkel, og alligevel resulterer den i en så kompleks form. Denne form er umulig at definere ved hjælp af konventionel matematik, men så let at definere ved hjælp af fraktalgeometri.

Så hvem interesserer sig for von Koch-kurven? Er det ikke bare matematikere, der spilder deres tid på mærkelige former? Det kommer vel an på hvordan man ser på den, men jeg er overbevist om, at den er nyttig, fordi den ligner præcis et snefnug. Det bliver mere tydeligt, hvis den oprindelige form, man starter med, er en trekant i stedet for en lige linje:

Der er en hel debat om matematikkens formål, men som ingeniør er jeg tilbøjelig til at sige, at et af dens formål er at forsøge at efterligne verden omkring os. De former, der kommer ud af fraktalmatematikken, er så forskellige fra konventionelle matematiske former og ligner så meget verden omkring os, at jeg ikke kan lade være med at blive forført af dette emne. To andre former, som er mine favoritter, er Barnsley Fern:

og fraktale træer:

Disse er ikke tegninger eller billeder, men matematiske former. Hvis du kigger på formerne, kan du se, hvilken funktion der gentager sig selv. F.eks. på Barsley Fern er funktionen at tegne ca. 30 vinkelrette linjer ud af hver lige linje. Funktionen gentager sig selv og ligner en bregne. På træet kan du se, at hver linje forgrener sig to gange, hvilket vil være den funktion, der gentager sig selv. En anden egenskab ved disse former (dog strengt taget ikke for alle fraktaler) er, at de er selvlignende. Det betyder, at formen ligner sig selv, uanset hvor meget man zoomer ind eller ud. Hvis man f.eks. på træet ovenfor knækkede en gren af det og rejste det op, ville det ligne det oprindelige træ, hvis man knækkede en gren af det og rejste det op. Hvis man tog en kvist fra grenen og rejste den op, ville det stadig ligne det oprindelige træ. Igen er dette en egenskab, der forekommer i naturen, men før fraktalgeometrien var der ikke en god måde at omsætte den til matematik.

Disse former ligner ikke blot naturlige objekter, men iterationsprocessen lyder intuitiv, når man tænker på naturen. Når et træ vokser, vil dets stamme skabe grene, disse grene skaber yderligere grene, og disse grene skaber kviste. Det er som om funktionen er en genetisk kode, der fortæller grenen, hvordan den skal vokse og gentage sig selv, så den i sidste ende skaber former, der er “naturlige”. Det lyder måske som pseudovidenskab (det er det bestemt også), men jeg synes, at det er begreber, der er værd at overveje, når man er i stand til at efterligne naturen så tæt på.

Godt nok om naturen, tid til at tale om, hvordan fraktaler har vanvittige dimensioner.

Dimensioner

Så nu ved vi, hvad fraktalformer er, og hvordan man laver dem, så vil vi gerne vide et par ting om dem. En af de første ting, vi skal prøve at finde ud af, er længden af nogle af disse figurer. Lad os gå tilbage til von Koch-kurven.

For at finde ud af, hvor lang den fulde von Koch-kurve er (efter at være blevet itereret et uendeligt antal gange), er det nyttigt at se på, hvad der sker i første fase igen:

Linjen deles i tre, hvorefter den midterste del erstattes af to linjer, der er lige så lange som den (da det er en lige lang trekant). Så hvis den oprindelige lige linje havde en længde på 1, er kurvens længde efter den første iteration 4/3. Det viser sig, at hver gang du itererererer formen, bliver den 4/3 længere. Så længden af kurven efter anden iteration er 4/3 x 4/3 = 16/9:

Da 4/3 er større end 1, bliver linjen længere, hver gang den itereres gennem funktionen. Da man itererer funktionen uendeligt mange gange, har den fulde von Koch-kurve en omkreds, der er uendeligt lang! Dette er tilfældet for alle fraktale figurer: de har uendeligt lange omkredse. Det er ikke nyttigt for matematikere, så de måler ikke omkredsen af formen. Nu kræver de næste par afsnit en smule abstrakt tænkning, men hvis man tænker lidt ud af boksen, giver det mening.

Perimeteren måler længden omkring noget. Længden er et 1-dimensionelt mål for rummet. Længde er 1D, fordi den kun måler en lige linje. En 2D-måling af rummet er areal, 3D er volumen. Nu har vi vist, at det ikke er nyttigt at måle fraktale mønstre i 1 dimension, da de er uendeligt lange, men det mærkelige er, at fraktale former ikke er 1D, 2D eller 3D. Hver fraktalform har sin egen unikke dimension, som normalt er et tal med en decimalplads.

Dimensionen af en fraktalform er et mål for, hvor hurtigt formen bliver kompliceret, når man gentager den. Hvad mener vi med at blive kompliceret? Jo, i von Koch-kurven kan man se, at de første par iterationer giver ret enkle former, men omkring iteration 4 begynder den at blive ret lille og kompleks.

Måden at måle, hvor hurtigt en form bliver kompliceret, og dermed dens dimension, er at måle, hvor meget længere omkredsen bliver efter hver iteration. Dette giver intuitivt mening, for hvis linjen bliver meget længere efter hver iteration, bliver den sandsynligvis meget hurtigt meget kompliceret, mens hvis linjen forbliver nogenlunde lige lang efter hver iteration, så bliver den sandsynligvis ikke særlig kompleks.

Som vi allerede har vist, bliver von Koch-kurven 4/3 længere for hver iteration. Det betyder, at von Koch-kurven er 4/3 D, eller 1,3333…D. Ret vanvittigt, ikke? Den eksisterer et sted mellem 1D og 2D. Men dette mål er virkelig nyttigt for matematikere, da det giver oplysninger om formen (hvorimod omkredsen ikke gør det, den er altid uendelig). Hvis der f.eks. var en anden fraktalform, som var 1,93D, kunne man med sikkerhed sige, at denne form bliver hurtigere kompleks end von Koch-kurven, da omkredsen bliver 1,93 gange længere efter hver iteration i stedet for 1,3333, hvilket betyder, at den bliver hurtigere kompleks. Når man studerer en fraktalform, er det af integreret betydning at kende dens dimension.

Random

Den sidste ting, jeg vil tale om, er det faktum, at der kan indsættes tilfældighed i fraktalformerne. Tilfældige (eller tilsyneladende tilfældige) hændelser forekommer hele tiden i naturen og påvirker forskellige ting på en række forskellige måder, f.eks. er en stor del af informationsteknikken beskæftiger sig med støj, som tilfældigt fluktuerer et elektronisk signal. Når man forsøger at efterligne dette, tilføjer man normalt tilfældighed oven på et signal. Inden for elektronik ville man f.eks. skabe en fin sinusbølge og derefter tilføje støj ovenpå den (lånt fra dette websted):

Det nederste billede er den “rene” bølge, og det øverste billede er bølgen med støj tilsat. En iboende antagelse, når man gør dette, er, at der er et underliggende ‘rent’ signal, som ændres tilfældigt. Selv om dette kan være sandt for en masse elektronik, kan det samme ikke siges om naturen. Ofte er der ikke en “ren” form, der ændres tilfældigt i kanterne (der findes f.eks. ikke mange uklare firkanter i naturen), men derimod påvirker tilfældighederne selve formens struktur på hvert trin af dens udvikling. Klassisk geometri er ikke god til at inkorporere tilfældighed i formerne, mens fraktalgeometri nemt kan gøre det. Lad os for sidste gang vende os mod von Koch-kurven. Denne gang vil vi dog indsætte tilfældighed i den.

Vi ved, at reglen er, at der for hver iteration skabes en trekant i den midterste tredjedel af en linje. Men hver gang vender trekanterne altid “udad”. Vi kunne indsætte tilfældighed ved at sige, at for hver trekant, der oprettes, går den enten over linjen eller under linjen afhængigt af et møntkast:

Nu vil formen udvikle sig tilfældigt i henhold til møntkastningen. Efter flere gentagelser kan von Koch-kurven f.eks. se sådan ud:

Og den kan se helt anderledes ud. Det fede ved dette er, at man kan indsætte tilfældighed i selve formen i stedet for at tilføje den oven på en eksisterende form. Dette har et spændende potentiale, for eksempel (for at vende tilbage til naturen) kan dette være en god måde at modellere tilfældige genetiske mutationer på.