Fraktaler

Lad os først starte med den egenskab ved fraktaler, som vi observerede i Romanesco blomkål.

Egenskab: Selv-similaritet er den egenskab, at hvis man zoomer ind på et objekt, opstår der et uendeligt gentagende mønster.

Et andet eksempel på selvlignende mønstre i naturen er de gentagne mønstre i krystalliserende vand og snefnug.

“Frost patterns 2” af Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Hvordan kan vi beskrive disse selvlignende mønstre, og hvordan kan vi matematisk generere selvlignende former, der kan reproduceres ved enhver forstørrelse? Vi har set fraktalmønstre i snefnug, så lad os starte med at generere et selvlignende mønster, der ligner et snefnug.

Koch Snowflake

Gå ud fra en ligesidet trekant og skab en ligesidet trekant ved at bruge den midterste tredjedel af hver side som base, og fjern derefter basen af trekanten. Gentag nu denne proces for hvert linjestykke i den resulterende figur. Her er de første par gentagelser:

Fortsætter man denne proces, får man Koch-snefnuget i grænsen. Her er et nærbillede af grænsen efter flere gentagelser:

Da man ved at zoome ind på Koch-snefnuget får en kurve, der er en kopi af sig selv i en mindre skala (kaldet Koch-kurven), udviser Koch-snefnuget selv-similaritet.

Hvis den ligesidede trekant, vi starter med, har sidelængden 1, så læg mærke til, at ved at erstatte hvert linjestykke med 444 segmenter af en tredjedel af længden, multiplicerer vi længden med 43 \frac{4}{3} 34 ved hvert trin. Dette viser, at efter nnn trin er længden af omkredsen 3⋅(43)n 3 \cdot \left( \frac{4}{3}{3} \right)^n3⋅(34)n, så Koch-stjernen har uendelig omkreds, hvis den måles som en 1-dimensionel kurve.

Men som vi senere vil se, opstår dette, fordi Koch-snefnuget skal opfattes som havende mere end 1 dimension, og at forsøge at måle en form i den forkerte dimension giver et meningsløst svar. Dette svarer til at forsøge at måle mængden af en meget tynd tråd, der er nødvendig for at dække et 2-dimensionelt kvadrat. Vi ville have brug for en uendelig lang tråd, da vi forsøger at måle et 2-dimensionelt objekt med en 1-dimensionel kurve.

Kochs snefnug viser, at selv om fraktaler er komplekse, kan de genereres ved gentagne gange at anvende enkle regler. Vi kan betragte Koch-snefnugets starttrekant som igangsætteren og det trin, hvor hver linje erstattes af en top, som generatoren. Hvis vi i stedet starter med et linjestykke som igangsætter og bruger følgende generator, får vi et andet mønster.

Disse eksempler demonstrerer følgende egenskaber ved fraktaler.

Fraktaler har detaljer på vilkårligt små skalaer og udviser uregelmæssigheder, der ikke kan beskrives med traditionelt geometrisk sprog.

Med andre ord er fraktaler objekter, som ved enhver forstørrelse aldrig vil “glatte sig ud” til at ligne det euklidiske rum.

Sierpinski pakning

Sierpinski pakning er en trekant, der er sammensat af mindre kopier af sig selv. Begynd med en udfyldt trekant, forbind midtpunkterne på hver af siderne, fjern den midterste trekant, og iterér over de resterende tre udfyldte trekanter.

Hvis vi starter med en trekant med sidelængden 111, hvad er så arealet af Sierpinski-kufferten (det sort farvede rum) i det nnnte trin? Bemærk, at antallet af sorte trekanter i det nnnte trin er 3n3^n3n, og at sidelængden af en trekant i det nnnte trin er (12)n\left( \frac{1}{2} \right)^n(21)n. Så er arealet af det sorte rum i det nnnte trin 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{1}{2}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n⋅(21)n gange arealet af den oprindelige trekant, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{\sqrt{3}}}{4} = \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{\sqrt{3}}}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}}} \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Dette nærmer sig 0 efterhånden som nnn går mod uendeligt. Ligesom med Koch-snefnuget skal Sierpinski-pakningen opfattes som havende en dimension mindre end 2, og måling af den i den forkerte dimension giver et meningsløst svar.