Factoring af polynomier af højere grad (video) gradspolynomier

plotte de reelle nuller af det givne polynomium på grafen nedenfor og de giver os P af X er lig med 2x til femte plus X til fjerde minus 2x minus en når de siger plottet giver de os denne lille widget her hvor hvis vi klikker på et punkt på dette får vi vores punkt og vi får så mange punkter som vi vil have og vi kan trække disse punkter rundt eller hvis vi ikke vil have disse punkter mere, kan vi bare smide dem i denne lille skraldespand nederst til højre, så lad os tænke over, hvad nulpunkterne i dette polynomium faktisk er for at gøre det, vil jeg tage min skrabelod frem, og det er lidt skræmmende i starten, det er et femgrads polynomium, det er et femgrads polynomium her, at faktorisere femgrads polynomier er virkelig noget af et kunst, du bliver virkelig nødt til at sidde og lede efter mønstre, hvis de faktisk forventer, at du skal finde nulpunkterne her uden hjælp fra en computer uden hjælp fra en lommeregner, så må der være en eller anden form for mønster, som du kan finde her, så lad mig bare omskrive P af X, så P af X er lig med 2x til femte plus X til fjerde minus 2x minus en og en måde, der er typisk ses, når du forsøger at faktorisere denne type polynomium, er at forsøge at ophæve den distributive egenskab et par gange, og hvis du vil relatere det til teknikker til faktorisering af kvadratiske kvadrater, er det i det væsentlige faktorisering ved gruppering, så for eksempel ser du en 2x du ser en 2x du ser en 2x minus 1 eller noget, der ligner en 2x minus 1 lige herovre og herovre har du en 2x til den femte plus X til den fjerde så du har en 2x af en højere grad term plus en 1 X af en 1 grad lavere så der ser det ud til at være en slags mønster 2 gange X af en højere grad dette er den første grad term minus 1 gange du kunne se dette som X til 0 af en lavere grad term og så lad os tænke lidt på det hvad der sker hvis vi i det væsentlige forsøger at gruppere disse to termer og vi grupperer disse to termer lige herovre og vi prøver at faktorisere alt for at rydde lidt op for at se, om vi kan få det til at give mening, ja, disse to termer den største fælles faktor er X til 4 vi kunne skrive det som X til 4 gange 2x plus 1 og det burde gøre os begejstrede, fordi det ser ret tæt på det, især hvis vi skulle faktorisere en negativ faktor ud 1 her, så vi kunne faktorisere en negativ 1 og så vil dette være 2x plus 1 og det er spændende fordi nu kan vi faktorisere en 2x plus 1 fra hver af disse hver af disse termer så du har en 2x plus 1 vi vil faktorisere begge disse vi vil faktorisere begge disse ud for at få 2x plus 1 som vi lige faktoriseret det ud og hvis du faktoriseret det ud af denne term lige over denne term lige herovre er du tilbage med X til den fjerde og du faktoriserer denne term ud du er tilbage med bare minus 1 minus 1 og nu er dette spændende fordi dette er meget til X plus 1 dette er ret nemt at regne ud hvornår denne ting er lig med 0 og vi vil gøre det i en lille smule og dette er ret nemt at faktorisere dette er en forskel af kvadrater dette lige herover kan være re-skrevet som kan re-skrevet som x kvadreret plus 1 gange x kvadreret minus gange x kvadreret minus 1 og selvfølgelig har vi stadig 2x plus 1 foran 2x plus 1 og endnu en gang har vi en anden forskel af kvadrater vi har en anden forskel af kvadrater lige herovre det er det samme som X plus 1 gange X minus 1 og lad mig lige skrive alle de andre dele af dette udtryk x kvadreret plus 1 og du har 2x plus 1 2x plus 1 og jeg tror jeg har faktoriseret P af X omtrent så meget som man med rimelighed kan forvente, så P af X er lig med alt dette her husk hele grunden til at jeg ville faktorisere det er at jeg ville finde ud af hvornår desisting er lig med 0 så hvis P af X kan udtrykkes som produktet af en masse af disse udtryk vil det være 0 når som helst på mindst et af disse udtryk er lig med 0 hvis nogen af disse er lig med 0 så vil det bare gøre hele dette udtryk lig med 0 så hvornår er 2x plus 1 lig med 0 så 2x plus 1 er lig med 0 godt du kan sikkert gøre det i dit hoved hvad vi gør det vi kan gøre det systematisk så godt trække en fra begge sider du får to x er lig med negativ en dividere begge sider med 2 får du X er lig med negativ 1/2 så når x er lig med negativ 1/2 eller du en måde at tænke på P af negativ 1/2 er 0 så P af negativ 1/2 er 0 så dette lige herovre er et punkt på grafen og det er et af de reelle nuller nu kan vi prøve at løse dette x kvadreret plus 1 er lig med 0 jeg vil bare skrive det ned bare for at vise dig hvis vi prøver at isolere X udtrykket til venstre subtraherer 1 fra begge sider får du x kvadreret er lig med negativ 1 nu hvis vi skulle gå hvis vi begynder at tænke på imaginære tal kunne vi tænke på hvad hvad X kunne være men de vil have os til at finde de reelle nuller de reelle nuller så der er ikke noget reelt tal hvor det tal kvadreret er lig med negativ 1 så vi får ikke nogen nuller ved at sætte dette reelle nuller ved at sætte dette ting lig med 0 i for reelt for der er intet reelt tal x hvor x kvadreret plus 1 vil være lig med 0 nu lad os tænke på hvornår X plus 1 kunne være lig med 0 vi trækker 1 fra begge sider du får X er lig med negativ 1 så P af negativ 1 vil være 0 så det er endnu et af vores nuller lige der og så endelig har vi lad os tænke på hvornår X minus 1 er er lig med 0, så læg 1 til begge sider X er lig med 1, så vi har endnu et 0, vi har endnu et rigtigt 0 lige derovre, og så kan vi plotte dem, så det er negativ 1 negativ 1/2 og 1, så det er negativ 1 negativ 1/2 og 1, og vi kan tjekke vores svar, og vi har det lige nu. En ting, der måske siger, du ved, at det irriterer dig, er som hey, du ved Sal, du har tilfældigvis lige grupperet det her på den helt rigtige måde, hvad nu hvis jeg prøver at gruppere på en anden måde, hvad nu hvis jeg prøver og lad os prøve at gøre det, det kunne være interessant bare for at vise dig, at det her ikke er voodoo, og der er faktisk flere måder at komme dertil på, så hvad nu hvis vi i stedet for at skrive det sådan her, så skriver vi det på den højeste måde.grad og så den næsthøjeste grad og så videre og så videre, hvis du skrev det sådan her P af X er lig med 2 X til den femte minus 2x plus X til den fjerde minus 1, ja faktisk kunne du selv på denne måde lave en ret interessant gruppering, hvis du grupperer disse to sammen, kan du se at de har den fælles faktor 2x, du faktoriserer 2x ud, du får 2x gange X til den fjerde minus 1, og jeg tror du kan se hvad der foregår, og så kan det blive re-skrevet som plus 1 gange X til den 4. min X til den 4. min X til den 4. minus 1 minus 1 minus 1 og nu kan du faktorisere en X til den 4. minus 1 og du er tilbage med bare i en neutral farve X til den 4. minus 1 gange 2x plus 1 som er meget nemmere at faktorisere nu forskel på kvadrater præcis hvad vi gjorde sidste gang så der er flere måder at du kunne have rimeligt grupperet dette og rimeligvis fortryde den distributive men jeg indrømmer, at det er noget af en kunst at lege lidt rundt og se lad os gruppere de to første termer lad os se om der er en fælles faktor her lad os gruppere de to andre termer lad os se om der er en fælles faktor her hey når vi faktoriserer disse fælles faktorer ser det ud til at begge disse to termer har dette fælles udtryk som en faktor og så kan du begynde at faktorisere det ud