Fraktály

Nejprve začneme vlastností fraktálů, kterou jsme pozorovali u květáku Romanesco.

Vlastnost: Sebepodobnost je vlastnost, která spočívá v tom, že při zvětšení objektu vzniká nekonečný opakující se vzor.

Dalším příkladem soběpodobnosti v přírodě jsou opakující se vzory krystalizující vody a sněhových vloček.

„Frost patterns 2“ by Schnobby (Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frostpatterns2.jpg)

Jak tyto soběpodobné vzory popsat a jak matematicky vytvořit soběpodobné tvary, které jsou reprodukovatelné při libovolném zvětšení? Fraktální obrazce jsme viděli u sněhových vloček, začněme tedy generováním soběpodobného obrazce připomínajícího sněhovou vločku.

Kochova sněhová vločka

Začněte rovnostranným trojúhelníkem, vytvořte rovnostranný trojúhelník pomocí prostřední třetiny každé strany jako základny a poté základnu trojúhelníku odstraňte. Nyní tento postup opakujte pro každou úsečku ve výsledném obrázku. Zde je několik prvních iterací:

Pokračováním tohoto postupu získáte Kochovu sněhovou vločku v limitu. Zde je přiblížení hranice po několika iteracích:

Protože zvětšením Kochovy sněhové vločky získáme křivku, která je kopií sebe sama v menším měřítku (tzv. Kochova křivka), vykazuje Kochova sněhová vločka soběpodobnost.

Pokud má rovnostranný trojúhelník, s nímž začínáme, délku strany 1, pak si všimněte, že nahrazením každé úsečky 444 úsečkami o třetinové délce vynásobíme délku 43 \frac{4}{3}. 34 v každém kroku. Z toho vyplývá, že po nnn krocích je délka obvodu 3⋅(43)n 3 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^n3⋅(34)n, takže Kochova hvězda má nekonečný obvod, pokud ji měříme jako jednorozměrnou křivku.

Jak však uvidíme později, vzniká to proto, že Kochovu sněhovou vločku bychom si měli představit tak, že má více než 1 rozměr a pokus o měření tvaru v nesprávném rozměru dává nesmyslnou odpověď. Je to podobné, jako kdybychom se snažili změřit množství velmi tenké nitě potřebné k pokrytí dvourozměrného čtverce. Potřebovali bychom nekonečně dlouhou nit, protože se snažíme změřit dvourozměrný objekt s jednorozměrnou křivkou.

Kochova sněhová vločka ukazuje, že i když jsou fraktály složité, lze je generovat opakovaným použitím jednoduchých pravidel. Počáteční trojúhelník Kochovy sněhové vločky můžeme považovat za iniciátor a krok nahrazení každé čáry vrcholem za generátor. Pokud místo toho začneme úsečkou jako iniciátorem a použijeme následující generátor, získáme jiný obrazec.

Tyto příklady demonstrují následující vlastnosti fraktálů:

Fraktály mají detaily v libovolně malých měřítkách a vykazují nepravidelnosti, které nelze popsat tradičním geometrickým jazykem.

Jinými slovy, fraktály jsou objekty, které se při jakémkoli zvětšení nikdy „nevyhladí“ tak, aby vypadaly jako euklidovský prostor.

Sierpinského těsnění

Sierpinského těsnění je trojúhelník složený z menších kopií sebe sama. Začněte s vyplněným trojúhelníkem, spojte středy jednotlivých stran, odstraňte prostřední trojúhelník a iterujte přes zbývající tři vyplněné trojúhelníky.

Pokud začneme s trojúhelníkem o délce strany 111, jaká je plocha Sierpinskiho těsnění (prostor podbarvený černě) v nnn-tém kroku? Poznamenejte, že počet černých trojúhelníků v nnn-tém kroku je 3n3^n3n a délka strany trojúhelníku v nnn-tém kroku je (12)n\levá( \frac{1}{2} \pravá)^n(21)n. Potom plocha černé plochy v nnn-tém kroku je 3n⋅(12)n⋅(12)n 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n 3n⋅(21)n⋅(21)n krát plocha původního trojúhelníku, or

3n⋅(12)2n⋅34=(34)n⋅34=13(34)n+1. 3^n \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \levice( \frac{3}{4} \pravice)^n \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \left( \frac{3}{4} \right)^{n+1}. 3n⋅(21)2n⋅43=(43)n⋅43=31(43)n+1.

Tato hodnota se s rostoucím nnn blíží nule. Stejně jako v případě Kochovy sněhové vločky je třeba si Sierpińského těsnění představit jako těsnění, které má rozměr menší než 2, a měření v nesprávném rozměru dává nesmyslnou odpověď.

.