Tato stránka používá soubory cookie. Pokračováním souhlasíte s jejich používáním. Zjistěte více, včetně toho, jak soubory cookie ovládat.
Fraktální geometrie je obor matematiky, který se zrodil v 70. letech 20. století a jehož hlavním autorem je Benoit Mandelbrot. Pokud jste již o fraktálech slyšeli, pravděpodobně jste viděli obrázek níže. Jmenuje se Mandelbrotova množina a je příkladem fraktálního tvaru.
Geometrie, kterou jste se učili ve škole, byla o tom, jak tvořit tvary; fraktální geometrie není jiná. Zatímco tvary, které jste se učili v klasické geometrii, byly „hladké“, například kruh nebo trojúhelník, tvary, které vycházejí z fraktální geometrie, jsou „hrubé“ a nekonečně složité. Nicméně fraktální geometrie je stále o vytváření tvarů, měření tvarů a definování tvarů, stejně jako ve škole.
Existují dva důvody, proč byste se měli zajímat o fraktální geometrii:
1. Proces, kterým se tvary ve fraktální geometrii vytvářejí, je úžasně jednoduchý, a přitom zcela odlišný od klasické geometrie. Zatímco klasická geometrie používá k definici tvaru vzorce, fraktální geometrie používá iteraci. Odpoutává se tak od velikánů, jako byli Pythagoras, Platón a Euklides, a vydává se jiným směrem. Klasická geometrie si užila více než 2000 let zkoumání, fraktální geometrie pouze 40.
2. Tvary, které vycházejí z fraktální geometrie, vypadají jako přírodní. To je úžasná skutečnost, kterou je těžké ignorovat. Jak všichni víme, v přírodě neexistují dokonalé kruhy ani dokonalé čtverce. A nejen to, když se podíváte na stromy, hory nebo říční systémy, nepřipomínají žádné tvary, na které je člověk zvyklý z matematiky. Pomocí jednoduchých vzorců, které se několikrát opakují, však fraktální geometrie dokáže tyto přírodní jevy modelovat s alarmující přesností. Pokud můžete použít jednoduchou matematiku k tomu, aby věci vypadaly jako svět, víte, že máte vyhráno. Fraktální geometrie to dokáže s lehkostí.
Tento příspěvek na blogu poskytne stručný přehled o tom, jak vytvořit fraktální tvary, a ukáže, jak se tyto tvary mohou podobat přírodě. Dále bude hovořit o dimenzionalitě, což je skvělý způsob měření fraktálů. Na závěr pojedná o tom, jak je fraktální geometrie přínosná také proto, že do struktury fraktálního tvaru lze vnést náhodnost. Příspěvek nevyžaduje téměř žádnou matematiku a obsahuje spoustu pěkných obrázků
Jak vytvořit fraktální tvar
V normální geometrii jsou tvary definovány souborem pravidel a definic. Například trojúhelník se skládá ze tří přímek, které jsou spojeny. Pravidla jsou taková, že pokud máte délky všech tří stran trojúhelníku, je zcela definován, také pokud máte délku jedné strany a dva odpovídající úhly, je trojúhelník také definován. Ačkoli jsou pravidla definující trojúhelník jednoduchá, vzniklo z nich obrovské množství užitečných matematických poznatků, například Pythagorova Theorum, sin() cos() a tan(), důkaz, že nejkratší vzdálenost mezi dvěma body je přímka, atd.
Fraktální geometrie také definuje tvary pomocí pravidel, avšak tato pravidla jsou jiná než v klasické geometrii. Ve fraktální geometrii se tvar vytváří ve dvou krocích: nejprve se vytvoří pravidlo, jak změnit určitý (obvykle klasicky geometrický) tvar. Toto pravidlo se pak na tvar aplikuje znovu a znovu, až do nekonečna. V matematice se při změně něčeho obvykle říká funkce, takže se děje to, že se na tvar rekurzivně aplikuje funkce, jako na obrázku níže.
Po nekonečném opakování vznikne fraktální tvar. Co jsou tedy tyto funkce? Co myslíte tím nekonečným opakováním? Jako vždy se to nejlépe vysvětlí na příkladu…
Dobrý fraktální tvar se nazývá von Kochova křivka. Její pravidla neboli funkce jsou nesmírně jednoduchá. Nejprve začnete s přímkou. To je váš „počáteční tvar“:
Pravidla jsou následující:
1. V tomto tvaru je třeba vytvořit tzv. Rozdělte každou přímku na 3 stejné úsečky.
2. Nahraďte prostřední úsečku rovnostranným trojúhelníkem a odstraňte stranu trojúhelníku odpovídající počáteční přímce.
Postup je znázorněn na obrázku níže:
Toto se stane s přímkou, naším počátečním tvarem, když poprvé projde funkcí, první iterací. Nyní je tvar, který vytvořila, znovu vložen do funkce pro druhou iteraci:
Pamatujte si, že pravidlem bylo, že každá přímka se rozdělí na třetiny, takže nyní se 4 přímky rozdělí a vytvoří trojúhelníky. Tvar, který vznikne po druhé iteraci, se pak do funkce vloží potřetí. V MS paint se to špatně kreslí, takže jsem pro další fáze použil pár obrázků z této webové stránky:
Po nekonečném počtu iterací je definován fraktální tvar. Může to znít zmateně, ale přesto je možné to matematicky analyzovat a vizuálně je vidět, jak tvar začíná vypadat. Níže uvedený gif (z Wikipedie) dobře ilustruje, jak křivka vypadá, když si ji přiblížíte:
Von Kochova křivka je skvělým příkladem fraktálu: pravidlo, které použijete, je jednoduché, a přesto je jeho výsledkem tak složitý tvar. Takový tvar je nemožné definovat pomocí běžné matematiky, a přitom je tak snadné ho definovat pomocí fraktální geometrie.
Takže koho zajímá von Kochova křivka? Není to jen plýtvání matematiků časem na podivné tvary? To asi záleží na tom, jak se na ni díváš, ale já jsem přesvědčen, že je užitečná, protože vypadá přesně jako sněhová vločka. Je to jasnější, pokud je výchozím tvarem, s nímž začínáte, trojúhelník, a ne přímka:
O účelu matematiky by se dala vést celá debata, ale jako inženýr se přikláním k tomu, že jedním z jejích účelů je snaha replikovat svět kolem nás. Tvary, které vycházejí z fraktální matematiky, jsou tak odlišné od běžných matematických tvarů a tak podobné světu kolem nás, že mě toto téma nemůže nelákat. Další dva tvary, které mám v oblibě, jsou Barnsleyho kapradina:
A fraktální stromy:
To nejsou kresby ani obrázky, ale matematické tvary. Když se na tvary podíváte, uvidíte, jaká funkce se opakuje. Například na Barsleyho kapradině je funkcí nakreslit z každé přímky asi 30 kolmých čar. Funkce se opakuje do a vypadá jako kapradí. Na stromu můžete vidět, že se každá čára dvakrát větví, což bude funkce, která se opakuje. Další vlastností těchto tvarů (i když striktně neplatí pro všechny fraktály) je, že jsou soběpodobné. To znamená, že tvar vypadá jako on sám, ať už jej zvětšíte nebo zmenšíte jakkoli. Například u výše uvedeného stromu, pokud byste z něj ulomili větev a postavili ji nahoru, bude vypadat jako původní strom. Pokud byste z větve vzali větvičku a postavili ji nahoru, stále by vypadala jako původní strom. Opět se jedná o vlastnost, která se vyskytuje v přírodě, ale až do fraktální geometrie neexistoval dobrý způsob, jak ji převést do matematiky.
Nejenže tyto tvary vypadají jako přírodní objekty, ale proces iterace zní při přemýšlení o přírodě intuitivně. Když roste strom, jeho kmen vytvoří větve, tyto větve vytvoří další větve, tyto větve vytvoří větvičky. Je to, jako by funkce byla genetickým kódem, který větvi říká, jak má růst a opakovat se, a nakonec vytvářet tvary, které jsou „přirozené“. Může to znít jako pseudověda (to rozhodně je), ale myslím, že to jsou pojmy, které stojí za zvážení, když jste schopni tak věrně napodobit přírodu.
Dost bylo o přírodě, je čas promluvit si o tom, jak mají fraktály šílené rozměry.
Rozměry
Takže teď už víme, co jsou fraktální tvary a jak je vytvořit, rádi bychom o nich věděli pár věcí. Jednou z prvních věcí, kterou se pokusíme zjistit, je délka některých těchto tvarů. Vraťme se k von Kochově křivce.
Abychom zjistili, jak dlouhá je celá von Kochova křivka (po nekonečném počtu iterací), je užitečné znovu zvážit, co se stane v první fázi:
Přímka je rozdělena na tři části, pak je prostřední část nahrazena dvěma přímkami, které jsou stejně dlouhé jako ona (protože je to rovný trojúhelník). Jestliže tedy původní přímka měla délku 1, délka křivky po první iteraci je 4/3. To znamená, že křivka bude mít délku 1. Ukazuje se, že při každé iteraci se tvar o 4/3 prodlouží. Takže délka křivky po druhé iteraci je 4/3 x 4/3 = 16/9:
Jelikož 4/3 je větší než 1, přímka se při každé iteraci funkcí prodlužuje. Když budete funkci iterovat nekonečně mnohokrát, bude mít celá von Kochova křivka nekonečně dlouhý obvod! Tak je tomu u všech fraktálních tvarů: mají nekonečně dlouhé obvody. To není pro matematiky užitečné, takže obvod tvaru neměří. Nyní několik následujících odstavců vyžaduje trochu abstraktního myšlení, ale pokud se zamyslíte trochu mimo, dává to smysl.
Obvod měří délku kolem něčeho. Délka je jednorozměrná míra prostoru. Délka je 1D, protože měří pouze přímku. Dvourozměrná míra prostoru je plocha, trojrozměrná je objem. Nyní jsme si ukázali, že není užitečné měřit fraktální obrazce v 1 rozměru, protože jsou nekonečně dlouhé, ale zvláštní je, že fraktální obrazce nejsou 1D, 2D ani 3D. Každý fraktální útvar má svůj jedinečný rozměr, což je obvykle číslo s desetinným místem.
Rozměr fraktálního útvaru je měřítkem toho, jak rychle se útvar při jeho opakování komplikuje. Co máme na mysli tím, že se stává komplikovaným? No, na von Kochově křivce je vidět, že prvních několik iterací vytváří poměrně jednoduché tvary, avšak zhruba ve čtvrté iteraci se začnou stávat poměrně malými a složitými.
Způsob, jak změřit, jak rychle se tvar komplikuje, a tedy i jeho rozměr, je změřit, o kolik se po každé iteraci prodlouží jeho obvod. To dává smysl intuitivně, protože pokud se úsečka po každé iteraci hodně prodlouží, pravděpodobně se velmi rychle komplikuje, zatímco pokud úsečka zůstává po každé iteraci téměř stejně dlouhá, pak se pravděpodobně příliš nekomplikuje.
Jak jsme již ukázali, von Kochova křivka se každou iteraci prodlužuje o 4/3 délky. To znamená, že von Kochova křivka je 4/3 D, neboli 1,3333…D. Dost šílené, že? Existuje někde mezi 1D a 2D. Ale tato míra je pro matematiky opravdu užitečná, protože poskytuje informace o tvaru (zatímco obvod ne, ten je vždy nekonečný). Kdyby například existoval jiný fraktální tvar, který by byl 1,93D, mohli byste s jistotou říci, že tento tvar se komplikuje rychleji než von Kochova křivka, protože obvod se po každé iteraci prodlouží 1,93krát, a ne 1,3333, což znamená, že se komplikuje rychleji. Při studiu fraktálního tvaru má znalost jeho rozměru nedílný význam.
Náhodnost
Poslední věc, o které budu mluvit, je skutečnost, že do fraktálních tvarů lze vkládat náhodnost. Náhodné (nebo zdánlivě náhodné) události se v přírodě vyskytují neustále a ovlivňují různé věci různými způsoby, například velká část informačního inženýrství se zabývá šumem, který náhodně rozkmitá elektronický signál. Když se snažíte tento jev napodobit, obvykle k signálu přidáváte náhodnost. Například v elektronice byste vytvořili pěknou sinusovou vlnu a pak na ni přidali šum (vypůjčeno z této webové stránky):
Dolní obrázek je „čistá“ vlna a horní obrázek je vlna s přidaným šumem. Neodmyslitelným předpokladem při tomto postupu je, že existuje základní „čistý“ signál, který se náhodně mění. To sice může být pravda u mnoha elektronických zařízení, ale totéž nelze říci o přírodě. Často neexistuje „čistý“ tvar, který by se náhodně měnil na okrajích (například v přírodě není mnoho rozmazaných čtverců), ale spíše náhodnost ovlivňuje strukturu samotného tvaru v každé fázi jeho vývoje. Klasická geometrie neumí dobře začlenit náhodnost do tvarů, zatímco fraktální geometrie to dokáže snadno. Naposledy se věnujme von Kochově křivce. Tentokrát do ní však vložíme náhodnost.
Víme, že pravidlem je, že pro každou iteraci vzniká ve střední třetině přímky trojúhelník. Pokaždé však trojúhelníky vždy směřovaly „ven“. Mohli bychom vložit náhodnost tím, že pro každý vytvořený trojúhelník platí, že směřuje buď nad čáru, nebo pod čáru v závislosti na hodu mincí:
Nyní se bude tvar vyvíjet náhodně podle hodu mincí. Například po několika iteracích může von Kochova křivka vypadat takto:
Nebo může vypadat úplně jinak. Skvělé na tom je, že náhodnost můžete vložit do samotného tvaru, a ne ji přidávat na již existující tvar. To má zajímavý potenciál, například (když se vrátíme k přírodě) to může být dobrý způsob, jak modelovat náhodné genetické mutace.